Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnumdenbi Structured version   Unicode version

Theorem qnumdenbi 13138
 Description: Two numbers are the canonical representation of a rational iff they are coprime and have the right quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qnumdenbi numer denom

Proof of Theorem qnumdenbi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qredeu 13109 . . . . . . 7
2 riotacl 6566 . . . . . . 7
3 1st2nd2 6388 . . . . . . 7
41, 2, 33syl 19 . . . . . 6
5 qnumval 13131 . . . . . . 7 numer
6 qdenval 13132 . . . . . . 7 denom
75, 6opeq12d 3994 . . . . . 6 numer denom
84, 7eqtr4d 2473 . . . . 5 numer denom
98eqeq1d 2446 . . . 4 numer denom
1093ad2ant1 979 . . 3 numer denom
11 fvex 5744 . . . 4 numer
12 fvex 5744 . . . 4 denom
1311, 12opth 4437 . . 3 numer denom numer denom
1410, 13syl6rbb 255 . 2 numer denom
15 opelxpi 4912 . . . 4
18 fveq2 5730 . . . . . . 7
19 fveq2 5730 . . . . . . 7
2018, 19oveq12d 6101 . . . . . 6
2120eqeq1d 2446 . . . . 5
2218, 19oveq12d 6101 . . . . . 6
2322eqeq2d 2449 . . . . 5
2421, 23anbi12d 693 . . . 4
2524riota2 6574 . . 3
2616, 17, 25syl2anc 644 . 2
27 op1stg 6361 . . . . . 6
28 op2ndg 6362 . . . . . 6
2927, 28oveq12d 6101 . . . . 5
30293adant1 976 . . . 4
3130eqeq1d 2446 . . 3
32273adant1 976 . . . . 5
33283adant1 976 . . . . 5
3432, 33oveq12d 6101 . . . 4
3534eqeq2d 2449 . . 3
3631, 35anbi12d 693 . 2
3714, 26, 363bitr2rd 275 1 numer denom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wreu 2709  cop 3819   cxp 4878  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1st 6349  c2nd 6350  crio 6544  c1 8993   cdiv 9679  cn 10002  cz 10284  cq 10576   cgcd 13008  numercnumer 13127  denomcdenom 13128 This theorem is referenced by:  qnumdencoprm  13139  qeqnumdivden  13140  divnumden  13142  numdensq  13148  numdenneg  24162  qqh0  24370  qqh1  24371 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-numer 13129  df-denom 13130
 Copyright terms: Public domain W3C validator