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Theorem qreccl 10336
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10318 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 nnne0 9778 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
32ancli 534 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )
4 neeq1 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( x  /  y )  =/=  0 ) )
5 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
6 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
75, 6anim12i 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )
8 divne0b 9435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  =/=  0  <->  (
x  /  y )  =/=  0 ) )
983expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
107, 9sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( x  =/=  0  <->  ( x  / 
y )  =/=  0
) )
1110bicomd 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( (
x  /  y )  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
124, 11sylan9bbr 681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  <->  x  =/=  0 ) )
13 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
14 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1513, 14sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  y )  e.  ZZ )
17 msqznn 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  x.  x
)  e.  NN )
1817adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( x  x.  x )  e.  NN )
1916, 18jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( (
x  x.  y )  e.  ZZ  /\  (
x  x.  x )  e.  NN ) )
2019adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
2120adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN ) )
22 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
1  /  A )  =  ( 1  / 
( x  /  y
) ) )
23 divid 9451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
2524oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( 1  /  ( x  / 
y ) ) )
26 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  ->  x  e.  CC )
27 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
29 divdivdiv 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) ) )  ->  (
( x  /  x
)  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( ( x  /  x )  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3125, 30eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3231an4s 799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
337, 32sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3433anass1rs 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( x  /  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) )
3522, 34sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  x  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3635an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )
3721, 36jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) )
3837ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
3912, 38sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0 )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  -> 
( A  =/=  0  ->  ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x )  e.  NN )  /\  (
1  /  A )  =  ( ( x  x.  y )  / 
( x  x.  x
) ) ) ) )
4039ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  y  =/=  0
)  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
4140anasss 628 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( y  e.  NN  /\  y  =/=  0 ) )  ->  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
423, 41sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( (
( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) ) ) ) )
43 rspceov 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN  /\  ( 1  /  A
)  =  ( ( x  x.  y )  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  (
1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
44433expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
45 elq 10318 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  A )  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  ( 1  /  A )  =  ( z  /  w ) )
4644, 45sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  ( x  x.  x
)  e.  NN )  /\  ( 1  /  A )  =  ( ( x  x.  y
)  /  ( x  x.  x ) ) )  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ )
4742, 46syl8 65 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A  =/=  0  ->  ( 1  /  A )  e.  QQ ) ) )
4847rexlimivv 2672 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
491, 48sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  =/=  0  ->  (
1  /  A )  e.  QQ ) )
5049imp 418 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   QQcq 10316
This theorem is referenced by:  qdivcl  10337  qexpclz  11124  qsubdrg  16424  mpaaeu  27355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-q 10317
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