MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qshash Unicode version

Theorem qshash 12285
Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qshash.1  |-  ( ph  ->  .~  Er  A )
qshash.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
qshash  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  sum_ x  e.  ( A /.  .~  ) ( # `  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x,  .~

Proof of Theorem qshash
StepHypRef Expression
1 qshash.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  Er  A )
2 qshash.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 erex 6684 . . . . 5  |-  (  .~  Er  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  .~  e.  _V ) )
41, 2, 3sylc 56 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
51, 4uniqs2 6721 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( A /.  .~  )  =  A )
65fveq2d 5529 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  U. ( A /.  .~  )
)  =  ( # `  A ) )
7 pwfi 7151 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
82, 7sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  Fin )
91qsss 6720 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A /.  .~  )  C_  ~P A )
10 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  ( A /.  .~  )  C_  ~P A )  ->  ( A /.  .~  )  e.  Fin )
118, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A /.  .~  )  e.  Fin )
12 elpwi 3633 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
13 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
1413ex 423 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  C_  A  ->  x  e.  Fin ) )
152, 12, 14syl2im 34 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A  ->  x  e.  Fin ) )
1615ssrdv 3185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P A  C_  Fin )
179, 16sstrd 3189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A /.  .~  )  C_  Fin )
18 qsdisj2 6737 . . . 4  |-  (  .~  Er  A  -> Disj  x  e.  ( A /.  .~  )
x )
191, 18syl 15 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  ( A /.  .~  ) x )
2011, 17, 19hashuni 12283 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  U. ( A /.  .~  )
)  =  sum_ x  e.  ( A /.  .~  ) ( # `  x
) )
216, 20eqtr3d 2317 1  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  sum_ x  e.  ( A /.  .~  ) ( # `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827  Disj wdisj 3993   ` cfv 5255    Er wer 6657   /.cqs 6659   Fincfn 6863   #chash 11337   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  lagsubg2  14678  sylow1lem3  14911  sylow2a  14930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator