MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qshash Structured version   Unicode version

Theorem qshash 12598
Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qshash.1  |-  ( ph  ->  .~  Er  A )
qshash.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
qshash  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  sum_ x  e.  ( A /.  .~  ) ( # `  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x,  .~

Proof of Theorem qshash
StepHypRef Expression
1 qshash.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  Er  A )
2 qshash.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 erex 6921 . . . . 5  |-  (  .~  Er  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  .~  e.  _V ) )
41, 2, 3sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  .~  e.  _V )
51, 4uniqs2 6958 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( A /.  .~  )  =  A )
65fveq2d 5724 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  U. ( A /.  .~  )
)  =  ( # `  A ) )
7 pwfi 7394 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
82, 7sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P A  e.  Fin )
91qsss 6957 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A /.  .~  )  C_  ~P A )
10 ssfi 7321 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  ( A /.  .~  )  C_  ~P A )  ->  ( A /.  .~  )  e.  Fin )
118, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A /.  .~  )  e.  Fin )
12 elpwi 3799 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
13 ssfi 7321 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
1413ex 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
x  C_  A  ->  x  e.  Fin ) )
152, 12, 14syl2im 36 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ~P A  ->  x  e.  Fin ) )
1615ssrdv 3346 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P A  C_  Fin )
179, 16sstrd 3350 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A /.  .~  )  C_  Fin )
18 qsdisj2 6974 . . . 4  |-  (  .~  Er  A  -> Disj  x  e.  ( A /.  .~  )
x )
191, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  ( A /.  .~  ) x )
2011, 17, 19hashuni 12596 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  U. ( A /.  .~  )
)  =  sum_ x  e.  ( A /.  .~  ) ( # `  x
) )
216, 20eqtr3d 2469 1  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  sum_ x  e.  ( A /.  .~  ) ( # `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007  Disj wdisj 4174   ` cfv 5446    Er wer 6894   /.cqs 6896   Fincfn 7101   #chash 11610   sum_csu 12471
This theorem is referenced by:  lagsubg2  14993  sylow1lem3  15226  sylow2a  15245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator