MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qsqueeze Unicode version

Theorem qsqueeze 10617
Description: If a nonnegative real is less than any positive rational, it is zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
qsqueeze  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  =  0 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem qsqueeze
StepHypRef Expression
1 0re 8925 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 ltnle 8989 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
31, 2mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  -.  A  <_  0 ) )
4 qbtwnre 10615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  x  <  A ) )
51, 4mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  x  <  A ) )
65ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  E. x  e.  QQ  (
0  <  x  /\  x  <  A ) ) )
7 qre 10410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
8 ltnsym 9006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  <  x  ->  -.  x  <  A
) )
98con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <  x
) )
107, 9sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  QQ )  ->  ( x  <  A  ->  -.  A  <  x
) )
1110anim2d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  QQ )  ->  ( ( 0  < 
x  /\  x  <  A )  ->  ( 0  <  x  /\  -.  A  <  x ) ) )
1211reximdva 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  x  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  -.  A  <  x
) ) )
136, 12syld 40 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  E. x  e.  QQ  (
0  <  x  /\  -.  A  <  x ) ) )
143, 13sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <_  0  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  -.  A  <  x
) ) )
15 rexanali 2665 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  QQ  (
0  <  x  /\  -.  A  <  x )  <->  -.  A. x  e.  QQ  ( 0  <  x  ->  A  <  x ) )
1614, 15syl6ib 217 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <_  0  ->  -.  A. x  e.  QQ  ( 0  <  x  ->  A  <  x ) ) )
1716con4d 97 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A. x  e.  QQ  ( 0  <  x  ->  A  <  x )  ->  A  <_  0
) )
1817imp 418 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  <_  0
)
19183adant2 974 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  <_  0
)
20 letri3 8994 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
211, 20mpan2 652 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  0  <->  ( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2221rbaibd 876 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  =  0  <-> 
A  <_  0 ) )
23223adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  ( A  =  0  <->  A  <_  0 ) )
2419, 23mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A. x  e.  QQ  (
0  <  x  ->  A  <  x ) )  ->  A  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   class class class wbr 4102   RRcr 8823   0cc0 8824    < clt 8954    <_ cle 8955   QQcq 10405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406
  Copyright terms: Public domain W3C validator