Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qsssubdrg Unicode version

Theorem qsssubdrg 16431
 Description: The rational numbers are a subset of any subfield of the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
qsssubdrg SubRingfld flds

Proof of Theorem qsssubdrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10318 . . 3
2 drngrng 15519 . . . . . . . 8 flds flds
32ad2antlr 707 . . . . . . 7 SubRingfld flds flds
4 zsssubrg 16430 . . . . . . . . . 10 SubRingfld
54ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
6 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11 flds flds
76subrgbas 15554 . . . . . . . . . 10 SubRingfld flds
87ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds flds
95, 8sseqtrd 3214 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
10 simprl 732 . . . . . . . 8 SubRingfld flds
119, 10sseldd 3181 . . . . . . 7 SubRingfld flds flds
12 nnz 10045 . . . . . . . . . 10
1312ad2antll 709 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
149, 13sseldd 3181 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
15 nnne0 9778 . . . . . . . . . 10
1615ad2antll 709 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
17 cnfld0 16398 . . . . . . . . . . 11 fld
186, 17subrg0 15552 . . . . . . . . . 10 SubRingfld flds
1918ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds flds
2016, 19neeqtrd 2468 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
21 eqid 2283 . . . . . . . . . 10 flds flds
22 eqid 2283 . . . . . . . . . 10 Unitflds Unitflds
23 eqid 2283 . . . . . . . . . 10 flds flds
2421, 22, 23drngunit 15517 . . . . . . . . 9 flds Unitflds flds flds
2524ad2antlr 707 . . . . . . . 8 SubRingfld flds Unitflds flds flds
2614, 20, 25mpbir2and 888 . . . . . . 7 SubRingfld flds Unitflds
27 eqid 2283 . . . . . . . 8 /rflds /rflds
2821, 22, 27dvrcl 15468 . . . . . . 7 flds flds Unitflds /rflds flds
293, 11, 26, 28syl3anc 1182 . . . . . 6 SubRingfld flds /rflds flds
30 simpll 730 . . . . . . . 8 SubRingfld flds SubRingfld
315, 10sseldd 3181 . . . . . . . 8 SubRingfld flds
32 cnflddiv 16404 . . . . . . . . 9 /rfld
336, 32, 22, 27subrgdv 15562 . . . . . . . 8 SubRingfld Unitflds /rflds
3430, 31, 26, 33syl3anc 1182 . . . . . . 7 SubRingfld flds /rflds
3534, 8eleq12d 2351 . . . . . 6 SubRingfld flds /rflds flds
3629, 35mpbird 223 . . . . 5 SubRingfld flds
37 eleq1 2343 . . . . 5
3836, 37syl5ibrcom 213 . . . 4 SubRingfld flds
3938rexlimdvva 2674 . . 3 SubRingfld flds
401, 39syl5bi 208 . 2 SubRingfld flds
4140ssrdv 3185 1 SubRingfld flds
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wrex 2544   wss 3152  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc0 8737   cdiv 9423  cn 9746  cz 10024  cq 10316  cbs 13148   ↾s cress 13149  c0g 13400  crg 15337  Unitcui 15421  /rcdvr 15464  cdr 15512  SubRingcsubrg 15541  ℂfldccnfld 16377 This theorem is referenced by:  cphqss  18624  resscdrg  18775 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-fz 10783  df-seq 11047  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-cnfld 16378
 Copyright terms: Public domain W3C validator