Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qsssubdrg Structured version   Unicode version

Theorem qsssubdrg 16750
 Description: The rational numbers are a subset of any subfield of the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
qsssubdrg SubRingfld flds

Proof of Theorem qsssubdrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10568 . . 3
2 drngrng 15834 . . . . . . . 8 flds flds
32ad2antlr 708 . . . . . . 7 SubRingfld flds flds
4 zsssubrg 16749 . . . . . . . . . 10 SubRingfld
54ad2antrr 707 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
6 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 flds flds
76subrgbas 15869 . . . . . . . . . 10 SubRingfld flds
87ad2antrr 707 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds flds
95, 8sseqtrd 3376 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
10 simprl 733 . . . . . . . 8 SubRingfld flds
119, 10sseldd 3341 . . . . . . 7 SubRingfld flds flds
12 nnz 10295 . . . . . . . . . 10
1312ad2antll 710 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
149, 13sseldd 3341 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
15 nnne0 10024 . . . . . . . . . 10
1615ad2antll 710 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
17 cnfld0 16717 . . . . . . . . . . 11 fld
186, 17subrg0 15867 . . . . . . . . . 10 SubRingfld flds
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds flds
2016, 19neeqtrd 2620 . . . . . . . 8 SubRingfld flds flds
21 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 flds flds
22 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 Unitflds Unitflds
23 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 flds flds
2421, 22, 23drngunit 15832 . . . . . . . . 9 flds Unitflds flds flds
2524ad2antlr 708 . . . . . . . 8 SubRingfld flds Unitflds flds flds
2614, 20, 25mpbir2and 889 . . . . . . 7 SubRingfld flds Unitflds
27 eqid 2435 . . . . . . . 8 /rflds /rflds
2821, 22, 27dvrcl 15783 . . . . . . 7 flds flds Unitflds /rflds flds
293, 11, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . 6 SubRingfld flds /rflds flds
30 simpll 731 . . . . . . 7 SubRingfld flds SubRingfld
315, 10sseldd 3341 . . . . . . 7 SubRingfld flds
32 cnflddiv 16723 . . . . . . . 8 /rfld
336, 32, 22, 27subrgdv 15877 . . . . . . 7 SubRingfld Unitflds /rflds
3430, 31, 26, 33syl3anc 1184 . . . . . 6 SubRingfld flds /rflds
3529, 34, 83eltr4d 2516 . . . . 5 SubRingfld flds
36 eleq1 2495 . . . . 5
3735, 36syl5ibrcom 214 . . . 4 SubRingfld flds
3837rexlimdvva 2829 . . 3 SubRingfld flds
391, 38syl5bi 209 . 2 SubRingfld flds
4039ssrdv 3346 1 SubRingfld flds
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698   wss 3312  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc0 8982   cdiv 9669  cn 9992  cz 10274  cq 10566  cbs 13461   ↾s cress 13462  c0g 13715  crg 15652  Unitcui 15736  /rcdvr 15779  cdr 15827  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695 This theorem is referenced by:  cphqss  19143  resscdrg  19304 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-fz 11036  df-seq 11316  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-cmn 15406  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-cnfld 16696
 Copyright terms: Public domain W3C validator