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Theorem qtopbaslem 18797
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopbas.1  |-  S  C_  RR*
Assertion
Ref Expression
qtopbaslem  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem
Dummy variables  u  t  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 10944 . . . 4  |-  (,)  e.  _V
21rnex 5136 . . 3  |-  ran  (,)  e.  _V
3 imassrn 5219 . . 3  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  C_  ran  (,)
42, 3ssexi 4351 . 2  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e. 
_V
5 qtopbas.1 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR*
65sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  S  ->  z  e.  RR* )
75sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  S  ->  w  e.  RR* )
86, 7anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )
)
95sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR* )
105sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  S  ->  u  e.  RR* )
119, 10anim12i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)
12 iooin 10955 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  /\  ( v  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) ) )
138, 11, 12syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  =  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
) )
14 ifcl 3777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
1514ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S
)
16 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)
17 df-ov 6087 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  =  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )
18 opelxpi 4913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  <. if ( z  <_  v , 
v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S ) )
19 ioof 11007 . . . . . . . . . . . 12  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
20 ffun 5596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (,)
22 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  RR*  /\  S  C_ 
RR* )  ->  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
235, 5, 22mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2419fdmi 5599 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2523, 24sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  (,)
26 funfvima2 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( S  X.  S )  C_  dom  (,) )  ->  ( <. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
2721, 25, 26mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >.  e.  ( S  X.  S )  ->  ( (,) `  <. if ( z  <_  v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u ) >. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2818, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( (,) ` 
<. if ( z  <_ 
v ,  v ,  z ) ,  if ( w  <_  u ,  w ,  u )
>. )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
2917, 28syl5eqel 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( z  <_ 
v ,  v ,  z )  e.  S  /\  if ( w  <_  u ,  w ,  u )  e.  S
)  ->  ( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,) if ( w  <_  u ,  w ,  u )
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3015, 16, 29syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  ( w  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3130an4s 801 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( if ( z  <_  v ,  v ,  z ) (,)
if ( w  <_  u ,  w ,  u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3213, 31eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S
)  /\  ( v  e.  S  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3332ralrimivva 2800 . . . 4  |-  ( ( z  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
3433rgen2a 2774 . . 3  |-  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
35 ffn 5594 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3619, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
37 ineq1 3537 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( ( (,) `  t
)  i^i  y )
)
3837eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
3938ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( (,) `  t
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( x  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4039ralima 5981 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4136, 23, 40mp2an 655 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S
) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
42 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. z ,  w >. ) )
43 df-ov 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( z (,) w )  =  ( (,) `  <. z ,  w >. )
4442, 43syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( z (,) w ) )
4544ineq1d 3543 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( (,) `  t )  i^i  y
)  =  ( ( z (,) w )  i^i  y ) )
4645eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( (,) `  t )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
4746ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
48 ineq2 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
z (,) w )  i^i  y )  =  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) ) )
4948eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( (,) `  t
)  ->  ( (
( z (,) w
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5049ralima 5981 . . . . . . . 8  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  ( S  X.  S )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5136, 23, 50mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w
)  i^i  ( (,) `  t ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
52 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( (,) `  <. v ,  u >. ) )
53 df-ov 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v (,) u )  =  ( (,) `  <. v ,  u >. )
5452, 53syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( (,) `  t
)  =  ( v (,) u ) )
5554ineq2d 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  =  ( ( z (,) w
)  i^i  ( v (,) u ) ) )
5655eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  <. v ,  u >.  ->  ( ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <-> 
( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
5756ralxp 5019 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) ( ( z (,) w )  i^i  ( (,) `  t
) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5851, 57bitri 242 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) ( ( z (,) w )  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
5947, 58syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ) )
6059ralxp 5019 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( S  X.  S ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( ( (,) `  t
)  i^i  y )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( ( z (,) w )  i^i  (
v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6141, 60bitri 242 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  A. v  e.  S  A. u  e.  S  ( (
z (,) w )  i^i  ( v (,) u ) )  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )
6234, 61mpbir 202 . 2  |-  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) )
63 fiinbas 17022 . 2  |-  ( ( ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  _V  /\  A. x  e.  ( (,) " ( S  X.  S
) ) A. y  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) ( x  i^i  y
)  e.  ( (,) " ( S  X.  S ) ) )  ->  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases )
644, 62, 63mp2an 655 1  |-  ( (,) " ( S  X.  S ) )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   <.cop 3819   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   RR*cxr 9124    <_ cle 9126   (,)cioo 10921   TopBasesctb 16967
This theorem is referenced by:  qtopbas  18798  retopbas  18799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-ioo 10925  df-bases 16970
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