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Theorem qtopcld 17702
Description: The property of being a closed set in the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopcld  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )

Proof of Theorem qtopcld
StepHypRef Expression
1 qtoptopon 17693 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
2 topontop 16950 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
3 eqid 2408 . . . 4  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
43iscld 17050 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
Top  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
51, 2, 43syl 19 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) ) ) )
6 toponuni 16951 . . . . 5  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
87sseq2d 3340 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  C_  Y  <->  A  C_  U. ( J qTop  F ) ) )
97difeq1d 3428 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  \  A )  =  ( U. ( J qTop 
F )  \  A
) )
109eleq1d 2474 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) )
118, 10anbi12d 692 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
12 elqtop3 17692 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
14 difss 3438 . . . . . 6  |-  ( Y 
\  A )  C_  Y
1514biantrur 493 . . . . 5  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  A ) )  e.  J  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) )
16 fofun 5617 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  Fun  F )
1716ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Fun  F )
18 funcnvcnv 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
19 imadif 5491 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
21 fof 5616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
22 fimacnv 5825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2423ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
25 toponuni 16951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  X  =  U. J )
2724, 26eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
2827difeq1d 3428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " Y )  \  ( `' F " A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
2920, 28eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
3029eleq1d 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
31 topontop 16950 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3231ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
33 cnvimass 5187 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
34 fofn 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
35 fndm 5507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
3736ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  dom  F  =  X )
3833, 37syl5sseq 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  X )
3938, 26sseqtrd 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  U. J )
40 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4140iscld2 17051 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " A ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4232, 39, 41syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4330, 42bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4415, 43syl5bbr 251 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J
)  <->  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
4513, 44bitrd 245 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4645pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
475, 11, 463bitr2d 273 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3281    C_ wss 3284   U.cuni 3979   `'ccnv 4840   dom cdm 4841   "cima 4844   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   -->wf 5413   -onto->wfo 5415   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   qTop cqtop 13688   Topctop 16917  TopOnctopon 16918   Clsdccld 17039
This theorem is referenced by:  qtoprest  17706  kqcld  17724  divstgphaus  18109
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-qtop 13692  df-top 16922  df-topon 16925  df-cld 17042
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