MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopcld Structured version   Unicode version

Theorem qtopcld 17750
Description: The property of being a closed set in the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopcld  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )

Proof of Theorem qtopcld
StepHypRef Expression
1 qtoptopon 17741 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
2 topontop 16996 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
43iscld 17096 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
Top  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
51, 2, 43syl 19 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) ) ) )
6 toponuni 16997 . . . . 5  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
87sseq2d 3378 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  C_  Y  <->  A  C_  U. ( J qTop  F ) ) )
97difeq1d 3466 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  \  A )  =  ( U. ( J qTop 
F )  \  A
) )
109eleq1d 2504 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) )
118, 10anbi12d 693 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
12 elqtop3 17740 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
1312adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
14 difss 3476 . . . . . 6  |-  ( Y 
\  A )  C_  Y
1514biantrur 494 . . . . 5  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  A ) )  e.  J  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) )
16 fofun 5657 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  Fun  F )
1716ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Fun  F )
18 funcnvcnv 5512 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
19 imadif 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
21 fof 5656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
22 fimacnv 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2423ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
25 toponuni 16997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2625ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  X  =  U. J )
2724, 26eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
2827difeq1d 3466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " Y )  \  ( `' F " A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
2920, 28eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
3029eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
31 topontop 16996 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3231ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
33 cnvimass 5227 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
34 fofn 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
35 fndm 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
3736ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  dom  F  =  X )
3833, 37syl5sseq 3398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  X )
3938, 26sseqtrd 3386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  U. J )
40 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4140iscld2 17097 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " A ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4232, 39, 41syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4330, 42bitr4d 249 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4415, 43syl5bbr 252 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J
)  <->  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
4513, 44bitrd 246 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4645pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
475, 11, 463bitr2d 274 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    C_ wss 3322   U.cuni 4017   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -onto->wfo 5455   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   qTop cqtop 13734   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Clsdccld 17085
This theorem is referenced by:  qtoprest  17754  kqcld  17772  divstgphaus  18157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-qtop 13738  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088
  Copyright terms: Public domain W3C validator