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Theorem qtopcld 17404
Description: The property of being a closed set in the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopcld  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )

Proof of Theorem qtopcld
StepHypRef Expression
1 qtoptopon 17395 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
2 topontop 16664 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
43iscld 16764 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
Top  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
51, 2, 43syl 18 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) ) ) )
6 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
71, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
87sseq2d 3206 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  C_  Y  <->  A  C_  U. ( J qTop  F ) ) )
97difeq1d 3293 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  \  A )  =  ( U. ( J qTop 
F )  \  A
) )
109eleq1d 2349 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) )
118, 10anbi12d 691 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_ 
U. ( J qTop  F
)  /\  ( U. ( J qTop  F )  \  A )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
12 elqtop3 17394 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) ) )
14 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( Y 
\  A )  C_  Y
1514biantrur 492 . . . . 5  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  A ) )  e.  J  <->  ( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F " ( Y  \  A
) )  e.  J
) )
16 fofun 5452 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  Fun  F )
1716ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Fun  F )
18 funcnvcnv 5308 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
19 imadif 5327 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " A ) ) )
21 fof 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
22 fimacnv 5657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
2423ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
25 toponuni 16665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  X  =  U. J )
2724, 26eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
2827difeq1d 3293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " Y )  \  ( `' F " A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
2920, 28eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " ( Y 
\  A ) )  =  ( U. J  \  ( `' F " A ) ) )
3029eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
31 topontop 16664 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3231ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  J  e.  Top )
33 cnvimass 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " A ) 
C_  dom  F
34 fofn 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
35 fndm 5343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
3736ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  dom  F  =  X )
3833, 37syl5sseq 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  X )
3938, 26sseqtrd 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( `' F " A ) 
C_  U. J )
40 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4140iscld2 16765 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " A ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4232, 39, 41syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  ( `' F " A ) )  e.  J ) )
4330, 42bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4415, 43syl5bbr 250 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( ( Y  \  A )  C_  Y  /\  ( `' F "
( Y  \  A
) )  e.  J
)  <->  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) )
4513, 44bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
4645pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( A  C_  Y  /\  ( Y  \  A
)  e.  ( J qTop 
F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
475, 11, 463bitr2d 272 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  qtoprest  17408  kqcld  17426  divstgphaus  17805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756
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