Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopcmap Structured version   Unicode version

Theorem qtopcmap 17756
 Description: If is a surjective continuous closed map, then it is a quotient map. (A closed map is a function that maps closed sets to closed sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 TopOn
qtopomap.5
qtopomap.6
qtopcmap.7
Assertion
Ref Expression
qtopcmap qTop
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem qtopcmap
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3
2 qtopomap.4 . . 3 TopOn
3 qtopomap.6 . . 3
4 qtopss 17752 . . 3 TopOn qTop
51, 2, 3, 4syl3anc 1185 . 2 qTop
6 cntop1 17309 . . . . . 6
71, 6syl 16 . . . . 5
8 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
98toptopon 17003 . . . . . . . . 9 TopOn
107, 9sylib 190 . . . . . . . 8 TopOn
11 cnf2 17318 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1210, 2, 1, 11syl3anc 1185 . . . . . . 7
13 ffn 5594 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 df-fo 5463 . . . . . 6
1614, 3, 15sylanbrc 647 . . . . 5
178elqtop2 17738 . . . . 5 qTop
187, 16, 17syl2anc 644 . . . 4 qTop
1916adantr 453 . . . . . . . . 9
20 difss 3476 . . . . . . . . 9
21 foimacnv 5695 . . . . . . . . 9
2219, 20, 21sylancl 645 . . . . . . . 8
232adantr 453 . . . . . . . . . 10 TopOn
24 toponuni 16997 . . . . . . . . . 10 TopOn
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9
2625difeq1d 3466 . . . . . . . 8
2722, 26eqtrd 2470 . . . . . . 7
28 fofun 5657 . . . . . . . . . . 11
29 funcnvcnv 5512 . . . . . . . . . . 11
30 imadif 5531 . . . . . . . . . . 11
3119, 28, 29, 304syl 20 . . . . . . . . . 10
3212adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
33 fimacnv 5865 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11
3534difeq1d 3466 . . . . . . . . . 10
3631, 35eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
377adantr 453 . . . . . . . . . 10
38 simprr 735 . . . . . . . . . 10
398opncld 17102 . . . . . . . . . 10
4037, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . . . 9
4136, 40eqeltrd 2512 . . . . . . . 8
42 qtopcmap.7 . . . . . . . . . 10
4342ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9
4443adantr 453 . . . . . . . 8
45 imaeq2 5202 . . . . . . . . . 10
4645eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
4746rspcv 3050 . . . . . . . 8
4841, 44, 47sylc 59 . . . . . . 7
4927, 48eqeltrrd 2513 . . . . . 6
50 topontop 16996 . . . . . . . 8 TopOn
5123, 50syl 16 . . . . . . 7
52 simprl 734 . . . . . . . 8
5352, 25sseqtrd 3386 . . . . . . 7
54 eqid 2438 . . . . . . . 8
5554isopn2 17101 . . . . . . 7
5651, 53, 55syl2anc 644 . . . . . 6
5749, 56mpbird 225 . . . . 5
5857ex 425 . . . 4
5918, 58sylbid 208 . . 3 qTop
6059ssrdv 3356 . 2 qTop
615, 60eqssd 3367 1 qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cdif 3319   wss 3322  cuni 4017  ccnv 4880   crn 4882  cima 4884   wfun 5451   wfn 5452  wf 5453  wfo 5455  cfv 5457  (class class class)co 6084   qTop cqtop 13734  ctop 16963  TopOnctopon 16964  ccld 17085   ccn 17293 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-qtop 13738  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cn 17296
 Copyright terms: Public domain W3C validator