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Theorem qtopcmap 17756
Description: If  F is a surjective continuous closed map, then it is a quotient map. (A closed map is a function that maps closed sets to closed sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
qtopomap.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
qtopomap.6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
qtopcmap.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
Assertion
Ref Expression
qtopcmap  |-  ( ph  ->  K  =  ( J qTop 
F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K    ph, x    x, Y

Proof of Theorem qtopcmap
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 qtopomap.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 qtopomap.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
4 qtopss 17752 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  K  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ran  F  =  Y )  ->  K  C_  ( J qTop  F ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  K  C_  ( J qTop  F ) )
6 cntop1 17309 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
71, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
98toptopon 17003 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
107, 9sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 cnf2 17318 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : U. J
--> Y )
1210, 2, 1, 11syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : U. J --> Y )
13 ffn 5594 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J --> Y  ->  F  Fn  U. J )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  U. J
)
15 df-fo 5463 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -onto-> Y  <->  ( F  Fn  U. J  /\  ran  F  =  Y ) )
1614, 3, 15sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : U. J -onto-> Y )
178elqtop2 17738 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( y  C_  Y  /\  ( `' F "
y )  e.  J
) ) )
187, 16, 17syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  <->  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
1916adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  F : U. J -onto-> Y )
20 difss 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  y )  C_  Y
21 foimacnv 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. J -onto-> Y  /\  ( Y  \ 
y )  C_  Y
)  ->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( Y  \  y
) )
2219, 20, 21sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( Y  \  y
) )
232adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
24 toponuni 16997 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  Y  =  U. K )
2625difeq1d 3466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( Y  \ 
y )  =  ( U. K  \  y
) )
2722, 26eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  =  ( U. K  \ 
y ) )
28 fofun 5657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  Fun  F )
29 funcnvcnv 5512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
30 imadif 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  y ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " y ) ) )
3119, 28, 29, 304syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  =  ( ( `' F " Y )  \  ( `' F " y ) ) )
3212adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  F : U. J
--> Y )
33 fimacnv 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  U. J )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " Y )  =  U. J )
3534difeq1d 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " y ) )  =  ( U. J  \ 
( `' F "
y ) ) )
3631, 35eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  =  ( U. J  \  ( `' F " y ) ) )
377adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  J  e.  Top )
38 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " y )  e.  J
)
398opncld 17102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " y )  e.  J )  -> 
( U. J  \ 
( `' F "
y ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4037, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( U. J  \  ( `' F "
y ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4136, 40eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( `' F " ( Y  \  y
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
42 qtopcmap.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Clsd `  J )
)  ->  ( F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
4342ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Clsd `  J )
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
4443adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  A. x  e.  (
Clsd `  J )
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
45 imaeq2 5202 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F " ( Y  \  y
) )  ->  ( F " x )  =  ( F " ( `' F " ( Y 
\  y ) ) ) )
4645eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' F " ( Y  \  y
) )  ->  (
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K )  <->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
4746rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " ( Y 
\  y ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( F
" x )  e.  ( Clsd `  K
)  ->  ( F " ( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
4841, 44, 47sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( F "
( `' F "
( Y  \  y
) ) )  e.  ( Clsd `  K
) )
4927, 48eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
)
50 topontop 16996 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
5123, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  K  e.  Top )
52 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  C_  Y
)
5352, 25sseqtrd 3386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  C_  U. K
)
54 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
5554isopn2 17101 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  y  C_  U. K )  ->  ( y  e.  K  <->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
) )
5651, 53, 55syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  ( y  e.  K  <->  ( U. K  \  y )  e.  (
Clsd `  K )
) )
5749, 56mpbird 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  y  e.  K
)
5857ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  Y  /\  ( `' F " y )  e.  J
)  ->  y  e.  K ) )
5918, 58sylbid 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( J qTop  F )  -> 
y  e.  K ) )
6059ssrdv 3356 . 2  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F ) 
C_  K )
615, 60eqssd 3367 1  |-  ( ph  ->  K  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    \ cdif 3319    C_ wss 3322   U.cuni 4017   `'ccnv 4880   ran crn 4882   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -onto->wfo 5455   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   qTop cqtop 13734   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Clsdccld 17085    Cn ccn 17293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-qtop 13738  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cn 17296
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