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Theorem qtopcn 17738
Description: Universal property of a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopcn  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( G  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( G  o.  F )  e.  ( J  Cn  K ) ) )

Proof of Theorem qtopcn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  F : X -onto-> Y )
3 elqtop3 17727 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( `' G "
x )  e.  ( J qTop  F )  <->  ( ( `' G " x ) 
C_  Y  /\  ( `' F " ( `' G " x ) )  e.  J ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  (
( `' G "
x )  e.  ( J qTop  F )  <->  ( ( `' G " x ) 
C_  Y  /\  ( `' F " ( `' G " x ) )  e.  J ) ) )
5 cnvimass 5216 . . . . . . . 8  |-  ( `' G " x ) 
C_  dom  G
6 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  G : Y --> Z )
7 fdm 5587 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Y --> Z  ->  dom  G  =  Y )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  dom  G  =  Y )
95, 8syl5sseq 3388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' G " x ) 
C_  Y )
109biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  (
( `' F "
( `' G "
x ) )  e.  J  <->  ( ( `' G " x ) 
C_  Y  /\  ( `' F " ( `' G " x ) )  e.  J ) ) )
114, 10bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  (
( `' G "
x )  e.  ( J qTop  F )  <->  ( `' F " ( `' G " x ) )  e.  J ) )
12 cnvco 5048 . . . . . . . 8  |-  `' ( G  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' G )
1312imaeq1i 5192 . . . . . . 7  |-  ( `' ( G  o.  F
) " x )  =  ( ( `' F  o.  `' G
) " x )
14 imaco 5367 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F  o.  `' G ) " x
)  =  ( `' F " ( `' G " x ) )
1513, 14eqtri 2455 . . . . . 6  |-  ( `' ( G  o.  F
) " x )  =  ( `' F " ( `' G "
x ) )
1615eleq1i 2498 . . . . 5  |-  ( ( `' ( G  o.  F ) " x
)  e.  J  <->  ( `' F " ( `' G " x ) )  e.  J )
1711, 16syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y --> Z ) )  /\  x  e.  K )  ->  (
( `' G "
x )  e.  ( J qTop  F )  <->  ( `' ( G  o.  F
) " x )  e.  J ) )
1817ralbidva 2713 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( A. x  e.  K  ( `' G " x )  e.  ( J qTop  F )  <->  A. x  e.  K  ( `' ( G  o.  F
) " x )  e.  J ) )
19 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  ->  G : Y --> Z )
2019biantrurd 495 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( A. x  e.  K  ( `' G " x )  e.  ( J qTop  F )  <->  ( G : Y --> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' G " x )  e.  ( J qTop  F
) ) ) )
21 fof 5645 . . . . . 6  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
2221ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  ->  F : X --> Y )
23 fco 5592 . . . . 5  |-  ( ( G : Y --> Z  /\  F : X --> Y )  ->  ( G  o.  F ) : X --> Z )
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( G  o.  F
) : X --> Z )
2524biantrurd 495 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( A. x  e.  K  ( `' ( G  o.  F )
" x )  e.  J  <->  ( ( G  o.  F ) : X --> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' ( G  o.  F ) " x
)  e.  J ) ) )
2618, 20, 253bitr3d 275 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( ( G : Y
--> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' G " x )  e.  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( G  o.  F ) : X --> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' ( G  o.  F ) " x
)  e.  J ) ) )
27 qtoptopon 17728 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
2827ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )
)
29 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Z
) )
30 iscn 17291 . . 3  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  K  e.  (TopOn `  Z ) )  ->  ( G  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  <-> 
( G : Y --> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' G " x )  e.  ( J qTop  F ) ) ) )
3128, 29, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( G  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( G : Y --> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' G " x )  e.  ( J qTop  F
) ) ) )
32 iscn 17291 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( ( G  o.  F ) : X --> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' ( G  o.  F ) " x
)  e.  J ) ) )
3332adantr 452 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( ( G  o.  F )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( ( G  o.  F ) : X --> Z  /\  A. x  e.  K  ( `' ( G  o.  F )
" x )  e.  J ) ) )
3426, 31, 333bitr4d 277 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Z )
)  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  G : Y
--> Z ) )  -> 
( G  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( G  o.  F )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873    o. ccom 4874   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   qTop cqtop 13721  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280
This theorem is referenced by:  qtopeu  17740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283
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