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Theorem qtopeu 17407
Description: Universal property of the quotient topology. If  G is a function from  J to  K which is equal on all equivalent elements under  F, then there is a unique continuous map  f : ( J  /  F ) --> K such that  G  =  f  o.  F, and we say that  G "passes to the quotient". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopeu.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtopeu.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtopeu.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
qtopeu.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
Assertion
Ref Expression
qtopeu  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    f, J, x    f, K, x    x, X, y    f, G, x, y    ph, f, x, y   
f, Y, x
Allowed substitution hints:    J( y)    K( y)    X( f)    Y( y)

Proof of Theorem qtopeu
Dummy variables  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopeu.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
2 fofn 5453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
43adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  F  Fn  X )
5 fniniseg 5646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  X  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
7 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
873anbi3i 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
9 3anass 938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  <->  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
108, 9bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
11 qtopeu.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
1210, 11sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
1312eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  (
y  e.  X  /\  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) )
1413expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  X  /\  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
156, 14sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
1615ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `  y
)  =  ( G `
 x ) )
17 qtopeu.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
18 qtopeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
19 cntop2 16971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. K  =  U. K
2221toptopon 16671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
2320, 22sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
24 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  G : X
--> U. K )
2517, 23, 18, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G : X --> U. K
)
26 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : X --> U. K  ->  G  Fn  X )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  G  Fn  X )
29 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  dom  F
30 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
311, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
32 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  dom  F  =  X )
3529, 34syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  X
)
36 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( G `  y )  ->  (
w  =  ( G `
 x )  <->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) ) )
3736ralima 5758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  X  /\  ( `' F " { ( F `  x ) } )  C_  X
)  ->  ( A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x )  <->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `
 y )  =  ( G `  x
) ) )
3828, 35, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x )  <->  A. y  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) ( G `
 y )  =  ( G `  x
) ) )
3916, 38mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) )
40 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : X --> U. K  ->  dom  G  =  X )
4125, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  G  =  X )
4241eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G  <-> 
x  e.  X ) )
4342biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  dom  G )
44 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
45 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
46 fniniseg 5646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  x ) ) ) )
474, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  x ) ) ) )
4844, 45, 47mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )
49 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  -> 
( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
5043, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
51 imadisj 5032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  (/) 
<->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  (/) )
5251necon3bii 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) 
<->  ( dom  G  i^i  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
5350, 52sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/) )
54 eqsn 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =/=  (/)  ->  ( ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) }  <->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) ) )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) }  <->  A. w  e.  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) w  =  ( G `  x ) ) )
5639, 55mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  { ( G `  x ) } )
5756unieqd 3838 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. {
( G `  x
) } )
58 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
5958unisn 3843 . . . . . . . 8  |-  U. {
( G `  x
) }  =  ( G `  x )
6057, 59syl6req 2332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G `  x )  =  U. ( G "
( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
6160mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( G `  x
) )  =  ( x  e.  X  |->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) ) )
6225feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  X  |->  ( G `
 x ) ) )
63 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> Y  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x
)  e.  Y )
6431, 63sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  Y )
6531feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( F `
 x ) ) )
66 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) )
67 sneq 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  { w }  =  { ( F `  x ) } )
6867imaeq2d 5012 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  ( `' F " { w } )  =  ( `' F " { ( F `  x ) } ) )
6968imaeq2d 5012 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  ( G " ( `' F " { w } ) )  =  ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
7069unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) )
7164, 65, 66, 70fmptco 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
)  =  ( x  e.  X  |->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) ) ) )
7261, 62, 713eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F ) )
7372, 18eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
)  e.  ( J  Cn  K ) )
74 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : X --> U. K  /\  x  e.  X
)  ->  ( G `  x )  e.  U. K )
7525, 74sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( G `  x )  e.  U. K )
7660, 75eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K
)
7776ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e. 
U. K )
7870eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  x )  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
7978eqcoms 2286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  =  w  ->  U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  =  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
8079eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  =  w  ->  ( U. ( G " ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e. 
U. K  <->  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e.  U. K
) )
8180cbvfo 5799 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( A. x  e.  X  U. ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K  <->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K ) )
821, 81syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  U. ( G
" ( `' F " { ( F `  x ) } ) )  e.  U. K  <->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K ) )
8377, 82mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K )
84 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )
8584fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  Y  U. ( G " ( `' F " { w } ) )  e. 
U. K  <->  ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
8683, 85sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K )
87 qtopcn 17405 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  /\  ( F : X -onto-> Y  /\  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) ) : Y --> U. K ) )  -> 
( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
8817, 23, 1, 86, 87syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  <->  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
8973, 88mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )
90 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( f  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  ->  (
f  o.  F )  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F
) )
9190eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( f  =  ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( ( w  e.  Y  |->  U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  o.  F
) ) )
9291rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  Y  |-> 
U. ( G "
( `' F " { w } ) ) )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K )  /\  G  =  ( (
w  e.  Y  |->  U. ( G " ( `' F " { w } ) ) )  o.  F ) )  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
9389, 72, 92syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
94 eqtr2 2301 . . . 4  |-  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
( f  o.  F
)  =  ( g  o.  F ) )
951adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
96 qtoptopon 17395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
9717, 1, 96syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
9897adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
9923adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
100 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) )
101 cnf2 16979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )  ->  f : Y --> U. K )
10298, 99, 100, 101syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f : Y
--> U. K )
103 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( f : Y --> U. K  ->  f  Fn  Y )
104102, 103syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  f  Fn  Y )
105 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) )
106 cnf2 16979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) )  ->  g : Y --> U. K )
10798, 99, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g : Y
--> U. K )
108 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( g : Y --> U. K  ->  g  Fn  Y )
109107, 108syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  g  Fn  Y )
110 cocan2 5802 . . . . 5  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  f  Fn  Y  /\  g  Fn  Y
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
11195, 104, 109, 110syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
11294, 111syl5ib 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) ) )  ->  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
113112ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) A. g  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K
) ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
114 coeq1 4841 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F ) )
115114eqeq2d 2294 . . 3  |-  ( f  =  g  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( g  o.  F
) ) )
116115reu4 2959 . 2  |-  ( E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F
)  <->  ( E. f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F )  /\  A. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) A. g  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  K ) ( ( G  =  ( f  o.  F
)  /\  G  =  ( g  o.  F
) )  ->  f  =  g ) ) )
11793, 113, 116sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  K ) G  =  ( f  o.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  qtophmeo  17508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
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