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Theorem qtophmeo 17508
Description: If two functions on a base topology  J make the same identifications in order to create quotient spaces  J qTop  F and  J qTop  G, then not only are  J qTop  F and  J qTop  G homeomorphic, but there is a unique homeomorhism that makes the diagram commute. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophmeo.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtophmeo.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtophmeo.4  |-  ( ph  ->  G : X -onto-> Y
)
qtophmeo.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )
Assertion
Ref Expression
qtophmeo  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    f, G, x, y    f, J, x, y    ph, f, x, y   
x, X, y    f, Y, x
Allowed substitution hints:    X( f)    Y( y)

Proof of Theorem qtophmeo
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophmeo.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 qtophmeo.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
3 qtophmeo.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : X -onto-> Y
)
4 fofn 5453 . . . . . . 7  |-  ( G : X -onto-> Y  ->  G  Fn  X )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  X )
6 qtopid 17396 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G  Fn  X )  ->  G  e.  ( J  Cn  ( J qTop  G ) ) )
71, 5, 6syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  ( J qTop  G
) ) )
8 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )
9 qtophmeo.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )
109biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) ) )
1110impr 602 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
128, 11sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
131, 2, 7, 12qtopeu 17407 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) )
14 reurex 2754 . . . 4  |-  ( E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F )  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) )
16 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
17 fofn 5453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
182, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
19 qtopid 17396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
201, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) ) )
21 df-3an 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )
229biimprd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
2322impr 602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( G `  x
)  =  ( G `
 y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
2421, 23sylan2b 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( G `  x )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
251, 3, 20, 24qtopeu 17407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E! g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( g  o.  G
) )
2625adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  E! g  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( g  o.  G ) )
27 reurex 2754 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) ) F  =  ( g  o.  G )  ->  E. g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( g  o.  G
) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  E. g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( g  o.  G
) )
29 qtoptopon 17395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
301, 2, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
3130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( J qTop  F
)  e.  (TopOn `  Y ) )
32 qtoptopon 17395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y ) )
331, 3, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y
) )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( J qTop  G
)  e.  (TopOn `  Y ) )
35 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
36 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) )  ->  f : Y --> Y )
3731, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  f : Y --> Y )
38 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) ) )
39 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )  ->  g : Y --> Y )
4034, 31, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  g : Y --> Y )
41 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( G `  x )  =  ( G `  y ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
421, 3, 7, 41qtopeu 17407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( h  o.  G
) )
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( h  o.  G ) )
44 reu5 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G ) ) G  =  ( h  o.  G )  <-> 
( E. h  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( h  o.  G )  /\  E* h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G ) ) G  =  ( h  o.  G ) ) )
4544simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E! h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G ) ) G  =  ( h  o.  G )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( h  o.  G ) )
4643, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( h  o.  G ) )
47 cnco 16995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
4838, 35, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) )
49 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( f  o.  F ) )
50 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( g  o.  G ) )
5150coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f  o.  F )  =  ( f  o.  ( g  o.  G ) ) )
5249, 51eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( f  o.  ( g  o.  G ) ) )
53 coass 5191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  o.  g )  o.  G )  =  ( f  o.  (
g  o.  G ) )
5452, 53syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( ( f  o.  g
)  o.  G ) )
55 idcn 16987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) ) )
5633, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) ) )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) ) )
58 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : X -onto-> Y  ->  G : X --> Y )
593, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G : X --> Y )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G : X --> Y )
61 fcoi2 5416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : X --> Y  -> 
( (  _I  |`  Y )  o.  G )  =  G )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( (  _I  |`  Y )  o.  G
)  =  G )
6362eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  G ) )
64 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h  o.  G )  =  ( ( f  o.  g )  o.  G ) )
6564eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  ( G  =  ( h  o.  G )  <->  G  =  ( ( f  o.  g )  o.  G
) ) )
66 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( h  o.  G )  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  G ) )
6766eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( G  =  ( h  o.  G
)  <->  G  =  (
(  _I  |`  Y )  o.  G ) ) )
6865, 67rmoi 3080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E* h  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) ) G  =  ( h  o.  G
)  /\  ( (
f  o.  g )  e.  ( ( J qTop 
G )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( (
f  o.  g )  o.  G ) )  /\  ( (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  G
) )  /\  G  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  G
) ) )  -> 
( f  o.  g
)  =  (  _I  |`  Y ) )
6946, 48, 54, 57, 63, 68syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f  o.  g )  =  (  _I  |`  Y )
)
70 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
711, 2, 20, 70qtopeu 17407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( h  o.  F
) )
7271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E! h  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( h  o.  F ) )
73 reu5 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F ) ) F  =  ( h  o.  F )  <-> 
( E. h  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( h  o.  F )  /\  E* h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F ) ) F  =  ( h  o.  F ) ) )
7473simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E! h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F ) ) F  =  ( h  o.  F )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( h  o.  F ) )
7572, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  E* h  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( h  o.  F ) )
76 cnco 16995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )  ->  ( g  o.  f )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7735, 38, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( g  o.  f )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7849coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( g  o.  G )  =  ( g  o.  ( f  o.  F ) ) )
7950, 78eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( g  o.  ( f  o.  F ) ) )
80 coass 5191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  o.  f )  o.  F )  =  ( g  o.  (
f  o.  F ) )
8179, 80syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( ( g  o.  f
)  o.  F ) )
82 idcn 16987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8330, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) ) )
8483ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) ) )
85 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
862, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
8786ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F : X --> Y )
88 fcoi2 5416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X --> Y  -> 
( (  _I  |`  Y )  o.  F )  =  F )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( (  _I  |`  Y )  o.  F
)  =  F )
9089eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  F  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  F ) )
91 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( g  o.  f )  ->  (
h  o.  F )  =  ( ( g  o.  f )  o.  F ) )
9291eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( g  o.  f )  ->  ( F  =  ( h  o.  F )  <->  F  =  ( ( g  o.  f )  o.  F
) ) )
93 coeq1 4841 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( h  o.  F )  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  F ) )
9493eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  (  _I  |`  Y )  ->  ( F  =  ( h  o.  F
)  <->  F  =  (
(  _I  |`  Y )  o.  F ) ) )
9592, 94rmoi 3080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E* h  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) ) F  =  ( h  o.  F
)  /\  ( (
g  o.  f )  e.  ( ( J qTop 
F )  Cn  ( J qTop  F ) )  /\  F  =  ( (
g  o.  f )  o.  F ) )  /\  ( (  _I  |`  Y )  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( (  _I  |`  Y )  o.  F
) ) )  -> 
( g  o.  f
)  =  (  _I  |`  Y ) )
9675, 77, 81, 84, 90, 95syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( g  o.  f )  =  (  _I  |`  Y )
)
97 fcof1o 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : Y --> Y  /\  g : Y --> Y )  /\  (
( f  o.  g
)  =  (  _I  |`  Y )  /\  (
g  o.  f )  =  (  _I  |`  Y ) ) )  ->  (
f : Y -1-1-onto-> Y  /\  `' f  =  g
) )
9837, 40, 69, 96, 97syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  ( f : Y -1-1-onto-> Y  /\  `' f  =  g ) )
9998simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  `' f  =  g )
10099, 38eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  ( g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  F  =  ( g  o.  G ) ) )  ->  `' f  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
101100expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J qTop  F )  Cn  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) ) )  ->  ( F  =  ( g  o.  G
)  ->  `' f  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) ) )
102101rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  ( E. g  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) F  =  ( g  o.  G )  ->  `' f  e.  ( ( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) ) ) )
10328, 102mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  `' f  e.  ( ( J qTop  G
)  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
104 ishmeo 17450 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( J qTop 
F )  Homeo  ( J qTop 
G ) )  <->  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  `' f  e.  (
( J qTop  G )  Cn  ( J qTop  F ) ) ) )
10516, 103, 104sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) ) )
106 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  G  =  ( f  o.  F ) )
107105, 106jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )  ->  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) ) )
108107ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F ) )  -> 
( f  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) )  /\  G  =  ( f  o.  F
) ) ) )
109108reximdv2 2652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( ( J qTop  F
)  Cn  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( f  o.  F )  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) G  =  ( f  o.  F
) ) )
11015, 109mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F ) )
111 eqtr2 2301 . . . 4  |-  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
( f  o.  F
)  =  ( g  o.  F ) )
1122adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  F : X -onto-> Y )
11330adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( J qTop  F
)  e.  (TopOn `  Y ) )
11433adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( J qTop  G
)  e.  (TopOn `  Y ) )
115 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  f  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) ) )
116 hmeof1o2 17454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  /\  f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) )  -> 
f : Y -1-1-onto-> Y )
117113, 114, 115, 116syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  f : Y -1-1-onto-> Y
)
118 f1ofn 5473 . . . . . 6  |-  ( f : Y -1-1-onto-> Y  ->  f  Fn  Y )
119117, 118syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  f  Fn  Y
)
120 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  g  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) ) )
121 hmeof1o2 17454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ( J qTop  G )  e.  (TopOn `  Y )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) )  -> 
g : Y -1-1-onto-> Y )
122113, 114, 120, 121syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  g : Y -1-1-onto-> Y
)
123 f1ofn 5473 . . . . . 6  |-  ( g : Y -1-1-onto-> Y  ->  g  Fn  Y )
124122, 123syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  g  Fn  Y
)
125 cocan2 5802 . . . . 5  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  f  Fn  Y  /\  g  Fn  Y
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F )  <->  f  =  g ) )
126112, 119, 124, 125syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( ( f  o.  F )  =  ( g  o.  F
)  <->  f  =  g ) )
127111, 126syl5ib 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) )  /\  g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ) )  ->  ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
128127ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) ) A. g  e.  ( ( J qTop  F
)  Homeo  ( J qTop  G
) ) ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  -> 
f  =  g ) )
129 coeq1 4841 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  F )  =  ( g  o.  F ) )
130129eqeq2d 2294 . . 3  |-  ( f  =  g  ->  ( G  =  ( f  o.  F )  <->  G  =  ( g  o.  F
) ) )
131130reu4 2959 . 2  |-  ( E! f  e.  ( ( J qTop  F )  Homeo  ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F )  <->  ( E. f  e.  ( ( J qTop  F )  Homeo  ( J qTop 
G ) ) G  =  ( f  o.  F )  /\  A. f  e.  ( ( J qTop  F )  Homeo  ( J qTop 
G ) ) A. g  e.  ( ( J qTop  F )  Homeo  ( J qTop 
G ) ) ( ( G  =  ( f  o.  F )  /\  G  =  ( g  o.  F ) )  ->  f  =  g ) ) )
132110, 128, 131sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! f  e.  ( ( J qTop  F ) 
Homeo  ( J qTop  G ) ) G  =  ( f  o.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   E*wrmo 2546    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446
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