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Theorem qtophmeo 17524
 Description: If two functions on a base topology make the same identifications in order to create quotient spaces qTop and qTop , then not only are qTop and qTop homeomorphic, but there is a unique homeomorhism that makes the diagram commute. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophmeo.2 TopOn
qtophmeo.3
qtophmeo.4
qtophmeo.5
Assertion
Ref Expression
qtophmeo qTop qTop
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem qtophmeo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophmeo.2 . . . . 5 TopOn
2 qtophmeo.3 . . . . 5
3 qtophmeo.4 . . . . . . 7
4 fofn 5469 . . . . . . 7
53, 4syl 15 . . . . . 6
6 qtopid 17412 . . . . . 6 TopOn qTop
71, 5, 6syl2anc 642 . . . . 5 qTop
8 df-3an 936 . . . . . 6
9 qtophmeo.5 . . . . . . . 8
109biimpd 198 . . . . . . 7
1110impr 602 . . . . . 6
128, 11sylan2b 461 . . . . 5
131, 2, 7, 12qtopeu 17423 . . . 4 qTop qTop
14 reurex 2767 . . . 4 qTop qTop qTop qTop
1513, 14syl 15 . . 3 qTop qTop
16 simprl 732 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop
17 fofn 5469 . . . . . . . . . . . . 13
182, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12
19 qtopid 17412 . . . . . . . . . . . 12 TopOn qTop
201, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 qTop
21 df-3an 936 . . . . . . . . . . . 12
229biimprd 214 . . . . . . . . . . . . 13
2322impr 602 . . . . . . . . . . . 12
2421, 23sylan2b 461 . . . . . . . . . . 11
251, 3, 20, 24qtopeu 17423 . . . . . . . . . 10 qTop qTop
2625adantr 451 . . . . . . . . 9 qTop qTop qTop qTop
27 reurex 2767 . . . . . . . . 9 qTop qTop qTop qTop
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8 qTop qTop qTop qTop
29 qtoptopon 17411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn qTop TopOn
301, 2, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop TopOn
3130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
32 qtoptopon 17411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn qTop TopOn
331, 3, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop TopOn
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
35 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
36 cnf2 16995 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
3731, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
38 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
39 cnf2 16995 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
4034, 31, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
41 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
421, 3, 7, 41qtopeu 17423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
44 reu5 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
4544simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop
4643, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
47 cnco 17011 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
4838, 35, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
49 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop qTop qTop
50 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 qTop qTop qTop qTop
5150coeq2d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop qTop qTop
5249, 51eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop
53 coass 5207 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
55 idcn 17003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop TopOn qTop qTop
5633, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
58 fof 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
593, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop qTop qTop
61 fcoi2 5432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop
6362eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
64 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15
6865, 67rmoi 3093 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
6946, 48, 54, 57, 63, 68syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
70 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
711, 2, 20, 70qtopeu 17423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop
7271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
73 reu5 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
7473simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop
7572, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
76 cnco 17011 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
7735, 38, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
7849coeq2d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop qTop qTop
7950, 78eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop
80 coass 5207 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179, 80syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
82 idcn 17003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop TopOn qTop qTop
8330, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop
8483ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
85 fof 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
862, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8786ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 qTop qTop qTop qTop
88 fcoi2 5432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 qTop qTop qTop qTop
9089eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop
91 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 coeq1 4857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15
9592, 94rmoi 3093 . . . . . . . . . . . . . 14 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
9675, 77, 81, 84, 90, 95syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . 13 qTop qTop qTop qTop
97 fcof1o 5819 . . . . . . . . . . . . 13
9837, 40, 69, 96, 97syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop qTop qTop
9998simprd 449 . . . . . . . . . . 11 qTop qTop qTop qTop
10099, 38eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
101100expr 598 . . . . . . . . 9 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
102101rexlimdva 2680 . . . . . . . 8 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
10328, 102mpd 14 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop
104 ishmeo 17466 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
10516, 103, 104sylanbrc 645 . . . . . 6 qTop qTop qTop qTop
106 simprr 733 . . . . . 6 qTop qTop
107105, 106jca 518 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
108107ex 423 . . . 4 qTop qTop qTop qTop
109108reximdv2 2665 . . 3 qTop qTop qTop qTop
11015, 109mpd 14 . 2 qTop qTop
111 eqtr2 2314 . . . 4
1122adantr 451 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
11330adantr 451 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
11433adantr 451 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop TopOn
115 simprl 732 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
116 hmeof1o2 17470 . . . . . . 7 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
117113, 114, 115, 116syl3anc 1182 . . . . . 6 qTop qTop qTop qTop
118 f1ofn 5489 . . . . . 6
119117, 118syl 15 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
120 simprr 733 . . . . . . 7 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
121 hmeof1o2 17470 . . . . . . 7 qTop TopOn qTop TopOn qTop qTop
122113, 114, 120, 121syl3anc 1182 . . . . . 6 qTop qTop qTop qTop
123 f1ofn 5489 . . . . . 6
124122, 123syl 15 . . . . 5 qTop qTop qTop qTop
125 cocan2 5818 . . . . 5
126112, 119, 124, 125syl3anc 1182 . . . 4 qTop qTop qTop qTop
127111, 126syl5ib 210 . . 3 qTop qTop qTop qTop
128127ralrimivva 2648 . 2 qTop qTop qTop qTop
129 coeq1 4857 . . . 4
130129eqeq2d 2307 . . 3
131130reu4 2972 . 2 qTop qTop qTop qTop qTop qTop qTop qTop
132110, 128, 131sylanbrc 645 1 qTop qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  wreu 2558  wrmo 2559   cid 4320  ccnv 4704   cres 4707   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   qTop cqtop 13422  TopOnctopon 16648   ccn 16970   chmeo 17460 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-qtop 13426  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462
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