Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopkgen Structured version   Unicode version

Theorem qtopkgen 17743
 Description: A quotient of a compactly generated space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1
Assertion
Ref Expression
qtopkgen 𝑘Gen qTop 𝑘Gen

Proof of Theorem qtopkgen
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentop 17575 . . 3 𝑘Gen
2 qtopcmp.1 . . . 4
32qtoptop 17733 . . 3 qTop
41, 3sylan 459 . 2 𝑘Gen qTop
5 elssuni 4044 . . . . . . . 8 𝑘Gen qTop 𝑘Gen qTop
65adantl 454 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen qTop 𝑘Gen qTop
74adantr 453 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
8 eqid 2437 . . . . . . . . 9 qTop qTop
98kgenuni 17572 . . . . . . . 8 qTop qTop 𝑘Gen qTop
107, 9syl 16 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop 𝑘Gen qTop
116, 10sseqtr4d 3386 . . . . . 6 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
12 simpll 732 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen qTop 𝑘Gen
1312, 1syl 16 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen qTop
14 simplr 733 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen qTop
15 dffn4 5660 . . . . . . . 8
1614, 15sylib 190 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen qTop
172qtopuni 17735 . . . . . . 7 qTop
1813, 16, 17syl2anc 644 . . . . . 6 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
1911, 18sseqtr4d 3386 . . . . 5 𝑘Gen 𝑘Gen qTop
202toptopon 16999 . . . . . . . . 9 TopOn
2113, 20sylib 190 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen qTop TopOn
22 qtopid 17738 . . . . . . . 8 TopOn qTop
2321, 14, 22syl2anc 644 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
24 kgencn3 17591 . . . . . . . 8 𝑘Gen qTop qTop 𝑘Gen qTop
2512, 7, 24syl2anc 644 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop 𝑘Gen qTop
2623, 25eleqtrd 2513 . . . . . 6 𝑘Gen 𝑘Gen qTop 𝑘Gen qTop
27 cnima 17330 . . . . . 6 𝑘Gen qTop 𝑘Gen qTop
2826, 27sylancom 650 . . . . 5 𝑘Gen 𝑘Gen qTop
292elqtop2 17734 . . . . . 6 𝑘Gen qTop
3012, 16, 29syl2anc 644 . . . . 5 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
3119, 28, 30mpbir2and 890 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
3231ex 425 . . 3 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
3332ssrdv 3355 . 2 𝑘Gen 𝑘Gen qTop qTop
34 iskgen2 17581 . 2 qTop 𝑘Gen qTop 𝑘Gen qTop qTop
354, 33, 34sylanbrc 647 1 𝑘Gen qTop 𝑘Gen
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wss 3321  cuni 4016  ccnv 4878   crn 4880  cima 4882   wfn 5450  wfo 5453  cfv 5455  (class class class)co 6082   qTop cqtop 13730  ctop 16959  TopOnctopon 16960   ccn 17289  𝑘Genckgen 17566 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-fi 7417  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-qtop 13734  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cn 17292  df-cmp 17451  df-kgen 17567
 Copyright terms: Public domain W3C validator