Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopomap Structured version   Unicode version

Theorem qtopomap 17742
 Description: If is a surjective continuous open map, then it is a quotient map. (An open map is a function that maps open sets to open sets.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopomap.4 TopOn
qtopomap.5
qtopomap.6
qtopomap.7
Assertion
Ref Expression
qtopomap qTop
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem qtopomap
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopomap.5 . . 3
2 qtopomap.4 . . 3 TopOn
3 qtopomap.6 . . 3
4 qtopss 17739 . . 3 TopOn qTop
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 . 2 qTop
6 cntop1 17296 . . . . . . 7
71, 6syl 16 . . . . . 6
8 eqid 2435 . . . . . . 7
98toptopon 16990 . . . . . 6 TopOn
107, 9sylib 189 . . . . 5 TopOn
11 cnf2 17305 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1210, 2, 1, 11syl3anc 1184 . . . . . . 7
13 ffn 5583 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 df-fo 5452 . . . . . 6
1614, 3, 15sylanbrc 646 . . . . 5
17 elqtop3 17727 . . . . 5 TopOn qTop
1810, 16, 17syl2anc 643 . . . 4 qTop
19 foimacnv 5684 . . . . . . . 8
2016, 19sylan 458 . . . . . . 7
2120adantrr 698 . . . . . 6
22 simprr 734 . . . . . . 7
23 qtopomap.7 . . . . . . . . 9
2423ralrimiva 2781 . . . . . . . 8
2524adantr 452 . . . . . . 7
26 imaeq2 5191 . . . . . . . . 9
2726eleq1d 2501 . . . . . . . 8
2827rspcv 3040 . . . . . . 7
2922, 25, 28sylc 58 . . . . . 6
3021, 29eqeltrrd 2510 . . . . 5
3130ex 424 . . . 4
3218, 31sylbid 207 . . 3 qTop
3332ssrdv 3346 . 2 qTop
345, 33eqssd 3357 1 qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312  cuni 4007  ccnv 4869   crn 4871  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  wfo 5444  cfv 5446  (class class class)co 6073   qTop cqtop 13721  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccn 17280 This theorem is referenced by:  hmeoqtop  17799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283
 Copyright terms: Public domain W3C validator