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Theorem qtoprest 17749
Description: If  A is a saturated open or closed set (where saturated means that  A  =  ( `' F " U ) for some  U), then the restriction of the quotient map  F to  A is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
qtoprest.3  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
qtoprest.4  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
qtoprest.5  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
qtoprest.6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Assertion
Ref Expression
qtoprest  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 qtoprest.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> Y
)
3 fofn 5655 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F  Fn  X )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
5 qtopid 17737 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  X )  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F ) ) )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) ) )
7 qtoprest.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " U ) )
8 cnvimass 5224 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " U ) 
C_  dom  F
9 fndm 5544 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
104, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  F  =  X )
118, 10syl5sseq 3396 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F " U )  C_  X
)
127, 11eqsstrd 3382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
13 toponuni 16992 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
141, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1512, 14sseqtrd 3384 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. J )
16 eqid 2436 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1716cnrest 17349 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  ( J qTop  F
) )  /\  A  C_ 
U. J )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
186, 15, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop 
F ) ) )
19 qtoptopon 17736 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
201, 2, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
) )
21 df-ima 4891 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
227imaeq2d 5203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  ( F
" ( `' F " U ) ) )
23 qtoprest.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  Y )
24 foimacnv 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -onto-> Y  /\  U  C_  Y )  ->  ( F "
( `' F " U ) )  =  U )
252, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " U ) )  =  U )
2622, 25eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " A
)  =  U )
2721, 26syl5eqr 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  =  U )
28 eqimss 3400 . . . . . 6  |-  ( ran  ( F  |`  A )  =  U  ->  ran  ( F  |`  A ) 
C_  U )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  U
)
30 cnrest2 17350 . . . . 5  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  ran  ( F  |`  A )  C_  U  /\  U  C_  Y )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3120, 29, 23, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( J qTop  F ) )  <->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
3218, 31mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
33 resttopon 17225 . . . 4  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y
)  /\  U  C_  Y
)  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U ) )
3420, 23, 33syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  (TopOn `  U ) )
35 qtopss 17747 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A )  e.  ( ( Jt  A )  Cn  ( ( J qTop  F )t  U ) )  /\  ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U
)  /\  ran  ( F  |`  A )  =  U )  ->  ( ( J qTop  F )t  U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
3632, 34, 27, 35syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  C_  (
( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
37 resttopon 17225 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
381, 12, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
39 fnfun 5542 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
404, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4112, 10sseqtr4d 3385 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
42 fores 5662 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A ) )
44 foeq3 5651 . . . . . . 7  |-  ( ( F " A )  =  U  ->  (
( F  |`  A ) : A -onto-> ( F
" A )  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4526, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) : A -onto->
( F " A
)  <->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U ) )
4643, 45mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )
47 elqtop3 17735 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  ( F  |`  A ) : A -onto-> U )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
4838, 46, 47syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  <->  ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A )
" x )  e.  ( Jt  A ) ) ) )
49 cnvresima 5359 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  A
)
50 imass2 5240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U  ->  ( `' F " x ) 
C_  ( `' F " U ) )
5150adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  ( `' F " U ) )
527adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  A  =  ( `' F " U ) )
5351, 52sseqtr4d 3385 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' F " x )  C_  A )
54 df-ss 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " x ) 
C_  A  <->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5553, 54sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  i^i  A )  =  ( `' F "
x ) )
5649, 55syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( `' ( F  |`  A )
" x )  =  ( `' F "
x ) )
5756eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  <->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )
58 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  U )
59 df-ss 3334 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U  <->  ( x  i^i  U )  =  x )
6058, 59sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
61 topontop 16991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6220, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
64 toponmax 16993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
651, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
66 fornex 5970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  J  ->  ( F : X -onto-> Y  ->  Y  e.  _V )
)
6765, 2, 66sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
6867, 23ssexd 4350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
6968ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  e.  _V )
7023ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  U  C_  Y )
7158, 70sstrd 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  C_  Y )
72 topontop 16991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
731, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
74 restopn2 17241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J )  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7573, 74sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  J )  ->  (
( `' F "
x )  e.  ( Jt  A )  <->  ( ( `' F " x )  e.  J  /\  ( `' F " x ) 
C_  A ) ) )
7675simprbda 607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7776adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  J )  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
7877an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
79 elqtop3 17735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
801, 2, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8180ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
8271, 78, 81mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( J qTop  F ) )
83 elrestr 13656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  U  e.  _V  /\  x  e.  ( J qTop  F ) )  ->  ( x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) )
8463, 69, 82, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  (
x  i^i  U )  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8560, 84eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  J )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
8634ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  (TopOn `  U ) )
87 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  =  U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
8988difeq1d 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  =  ( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x ) )
9023ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_  Y )
9120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
92 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
9490, 93sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U  C_ 
U. ( J qTop  F
) )
9590ssdifssd 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  Y )
9640ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Fun  F )
97 funcnvcnv 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
98 imadif 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
9996, 97, 983syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( ( `' F " U ) 
\  ( `' F " x ) ) )
1007ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  ( `' F " U ) )
101100difeq1d 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( ( `' F " U )  \  ( `' F " x ) ) )
10299, 101eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  =  ( A  \ 
( `' F "
x ) ) )
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  e.  ( Clsd `  J
) )
10438ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
105 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
107106difeq1d 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  =  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) ) )
108 topontop 16991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
109104, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
110 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) )
111 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
112111opncld 17097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( `' F "
x )  e.  ( Jt  A ) )  -> 
( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
113109, 110, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( Jt  A )  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
114107, 113eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )
115 restcldr 17238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  \ 
( `' F "
x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
116103, 114, 115syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( A  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
117102, 116eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( `' F " ( U 
\  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
118 qtopcld 17745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
1191, 2, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  \  x )  e.  (
Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U  \  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
120119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  <->  ( ( U 
\  x )  C_  Y  /\  ( `' F " ( U  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
12195, 117, 120mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) ) )
122 difssd 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  C_  U )
123 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( J qTop  F )  =  U. ( J qTop  F )
124123restcldi 17237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  C_  U. ( J qTop  F )  /\  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  ( J qTop  F ) )  /\  ( U  \  x
)  C_  U )  ->  ( U  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
12594, 121, 122, 124syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U  \  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) )
12689, 125eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. ( ( J qTop  F
)t 
U )  \  x
)  e.  ( Clsd `  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
127 topontop 16991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J qTop  F )t  U )  e.  (TopOn `  U )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
12886, 127syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( J qTop  F )t  U
)  e.  Top )
129 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_  U )
130129, 88sseqtrd 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  C_ 
U. ( ( J qTop 
F )t  U ) )
131 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
( J qTop  F )t  U
)  =  U. (
( J qTop  F )t  U
)
132131isopn2 17096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J qTop  F
)t 
U )  e.  Top  /\  x  C_  U. (
( J qTop  F )t  U
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
133128, 130, 132syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
x  e.  ( ( J qTop  F )t  U )  <-> 
( U. ( ( J qTop  F )t  U ) 
\  x )  e.  ( Clsd `  (
( J qTop  F )t  U
) ) ) )
134126, 133mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
135 qtoprest.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
136135adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  ( A  e.  J  \/  A  e.  ( Clsd `  J ) ) )
13785, 134, 136mpjaodan 762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  C_  U  /\  ( `' F " x )  e.  ( Jt  A ) ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) )
138137expr 599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
13957, 138sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( `' ( F  |`  A ) " x
)  e.  ( Jt  A )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F
)t 
U ) ) )
140139expimpd 587 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  C_  U  /\  ( `' ( F  |`  A ) " x )  e.  ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
14148, 140sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  ->  x  e.  ( ( J qTop  F )t  U ) ) )
142141ssrdv 3354 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) )  C_  ( ( J qTop  F )t  U ) )
14336, 142eqssd 3365 1  |-  ( ph  ->  ( ( J qTop  F
)t 
U )  =  ( ( Jt  A ) qTop  ( F  |`  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   U.cuni 4015   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648   qTop cqtop 13729   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080    Cn ccn 17288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-qtop 13733  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cn 17291
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