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Theorem qtoprest 17749
 Description: If is a saturated open or closed set (where saturated means that for some ), then the restriction of the quotient map to is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtoprest.2 TopOn
qtoprest.3
qtoprest.4
qtoprest.5
qtoprest.6
Assertion
Ref Expression
qtoprest qTop t t qTop

Proof of Theorem qtoprest
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtoprest.2 . . . . . 6 TopOn
2 qtoprest.3 . . . . . . 7
3 fofn 5655 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 qtopid 17737 . . . . . 6 TopOn qTop
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5 qTop
7 qtoprest.5 . . . . . . 7
8 cnvimass 5224 . . . . . . . 8
9 fndm 5544 . . . . . . . . 9
104, 9syl 16 . . . . . . . 8
118, 10syl5sseq 3396 . . . . . . 7
127, 11eqsstrd 3382 . . . . . 6
13 toponuni 16992 . . . . . . 7 TopOn
141, 13syl 16 . . . . . 6
1512, 14sseqtrd 3384 . . . . 5
16 eqid 2436 . . . . . 6
1716cnrest 17349 . . . . 5 qTop t qTop
186, 15, 17syl2anc 643 . . . 4 t qTop
19 qtoptopon 17736 . . . . . 6 TopOn qTop TopOn
201, 2, 19syl2anc 643 . . . . 5 qTop TopOn
21 df-ima 4891 . . . . . . 7
227imaeq2d 5203 . . . . . . . 8
23 qtoprest.4 . . . . . . . . 9
24 foimacnv 5692 . . . . . . . . 9
252, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . . 8
2622, 25eqtrd 2468 . . . . . . 7
2721, 26syl5eqr 2482 . . . . . 6
28 eqimss 3400 . . . . . 6
2927, 28syl 16 . . . . 5
30 cnrest2 17350 . . . . 5 qTop TopOn t qTop t qTop t
3120, 29, 23, 30syl3anc 1184 . . . 4 t qTop t qTop t
3218, 31mpbid 202 . . 3 t qTop t
33 resttopon 17225 . . . 4 qTop TopOn qTop t TopOn
3420, 23, 33syl2anc 643 . . 3 qTop t TopOn
35 qtopss 17747 . . 3 t qTop t qTop t TopOn qTop t t qTop
3632, 34, 27, 35syl3anc 1184 . 2 qTop t t qTop
37 resttopon 17225 . . . . . 6 TopOn t TopOn
381, 12, 37syl2anc 643 . . . . 5 t TopOn
39 fnfun 5542 . . . . . . . 8
404, 39syl 16 . . . . . . 7
4112, 10sseqtr4d 3385 . . . . . . 7
42 fores 5662 . . . . . . 7
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . 6
44 foeq3 5651 . . . . . . 7
4526, 44syl 16 . . . . . 6
4643, 45mpbid 202 . . . . 5
47 elqtop3 17735 . . . . 5 t TopOn t qTop t
4838, 46, 47syl2anc 643 . . . 4 t qTop t
49 cnvresima 5359 . . . . . . . 8
50 imass2 5240 . . . . . . . . . . 11
5150adantl 453 . . . . . . . . . 10
527adantr 452 . . . . . . . . . 10
5351, 52sseqtr4d 3385 . . . . . . . . 9
54 df-ss 3334 . . . . . . . . 9
5553, 54sylib 189 . . . . . . . 8
5649, 55syl5eq 2480 . . . . . . 7
5756eleq1d 2502 . . . . . 6 t t
58 simplrl 737 . . . . . . . . . 10 t
59 df-ss 3334 . . . . . . . . . 10
6058, 59sylib 189 . . . . . . . . 9 t
61 topontop 16991 . . . . . . . . . . . 12 qTop TopOn qTop
6220, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11 qTop
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10 t qTop
64 toponmax 16993 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
651, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
66 fornex 5970 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 2, 66sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
6867, 23ssexd 4350 . . . . . . . . . . 11
6968ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10 t
7023ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 t
7158, 70sstrd 3358 . . . . . . . . . . 11 t
72 topontop 16991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
731, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 restopn2 17241 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
7573, 74sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14 t
7675simprbda 607 . . . . . . . . . . . . 13 t
7776adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12 t
7877an32s 780 . . . . . . . . . . 11 t
79 elqtop3 17735 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn qTop
801, 2, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 qTop
8180ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11 t qTop
8271, 78, 81mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10 t qTop
83 elrestr 13656 . . . . . . . . . 10 qTop qTop qTop t
8463, 69, 82, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 t qTop t
8560, 84eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8 t qTop t
8634ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 t qTop t TopOn
87 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . 12 qTop t TopOn qTop t
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11 t qTop t
8988difeq1d 3464 . . . . . . . . . 10 t qTop t
9023ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 t
9120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 t qTop TopOn
92 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . . 13 qTop TopOn qTop
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . 12 t qTop
9490, 93sseqtrd 3384 . . . . . . . . . . 11 t qTop
9590ssdifssd 3485 . . . . . . . . . . . 12 t
9640ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
97 funcnvcnv 5509 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 imadif 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15
9996, 97, 983syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 t
1007ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
101100difeq1d 3464 . . . . . . . . . . . . . 14 t
10299, 101eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . 13 t
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14 t
10438ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t TopOn
105 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t TopOn t
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t
107106difeq1d 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t
108 topontop 16991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t TopOn t
109104, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t
110 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t
111 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t
112111opncld 17097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t t t
113109, 110, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t
114107, 113eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
115 restcldr 17238 . . . . . . . . . . . . . 14 t
116103, 114, 115syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 t
117102, 116eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12 t
118 qtopcld 17745 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn qTop
1191, 2, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 qTop
120119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 t qTop
12195, 117, 120mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11 t qTop
122 difssd 3475 . . . . . . . . . . 11 t
123 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12 qTop qTop
124123restcldi 17237 . . . . . . . . . . 11 qTop qTop qTop t
12594, 121, 122, 124syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 t qTop t
12689, 125eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9 t qTop t qTop t
127 topontop 16991 . . . . . . . . . . 11 qTop t TopOn qTop t
12886, 127syl 16 . . . . . . . . . 10 t qTop t
129 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11 t
130129, 88sseqtrd 3384 . . . . . . . . . 10 t qTop t
131 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11 qTop t qTop t
132131isopn2 17096 . . . . . . . . . 10 qTop t qTop t qTop t qTop t qTop t
133128, 130, 132syl2anc 643 . . . . . . . . 9 t qTop t qTop t qTop t
134126, 133mpbird 224 . . . . . . . 8 t qTop t
135 qtoprest.6 . . . . . . . . 9
136135adantr 452 . . . . . . . 8 t
13785, 134, 136mpjaodan 762 . . . . . . 7 t qTop t
138137expr 599 . . . . . 6 t qTop t
13957, 138sylbid 207 . . . . 5 t qTop t
140139expimpd 587 . . . 4 t qTop t
14148, 140sylbid 207 . . 3 t qTop qTop t
142141ssrdv 3354 . 2 t qTop qTop t
14336, 142eqssd 3365 1 qTop t t qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  cuni 4015  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879   cres 4880  cima 4881   wfun 5448   wfn 5449  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648   qTop cqtop 13729  ctop 16958  TopOnctopon 16959  ccld 17080   ccn 17288 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-qtop 13733  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cn 17291
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