Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopss Structured version   Unicode version

Theorem qtopss 17749
 Description: A surjective continuous function from to induces a topology qTop on the base set of . This topology is in general finer than . Together with qtopid 17739, this implies that qTop is the finest topology making continuous, i.e. the final topology with respect to the family . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtopss TopOn qTop

Proof of Theorem qtopss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponss 16996 . . . . 5 TopOn
213ad2antl2 1121 . . . 4 TopOn
3 cnima 17331 . . . . 5
433ad2antl1 1120 . . . 4 TopOn
5 simpl1 961 . . . . . . 7 TopOn
6 cntop1 17306 . . . . . . 7
75, 6syl 16 . . . . . 6 TopOn
8 eqid 2438 . . . . . . 7
98toptopon 17000 . . . . . 6 TopOn
107, 9sylib 190 . . . . 5 TopOn TopOn
11 simpl2 962 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
12 cnf2 17315 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1310, 11, 5, 12syl3anc 1185 . . . . . . 7 TopOn
14 ffn 5593 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6 TopOn
16 simpl3 963 . . . . . 6 TopOn
17 df-fo 5462 . . . . . 6
1815, 16, 17sylanbrc 647 . . . . 5 TopOn
19 elqtop3 17737 . . . . 5 TopOn qTop
2010, 18, 19syl2anc 644 . . . 4 TopOn qTop
212, 4, 20mpbir2and 890 . . 3 TopOn qTop
2221ex 425 . 2 TopOn qTop
2322ssrdv 3356 1 TopOn qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322  cuni 4017  ccnv 4879   crn 4881  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  cfv 5456  (class class class)co 6083   qTop cqtop 13731  ctop 16960  TopOnctopon 16961   ccn 17290 This theorem is referenced by:  qtoprest  17751  qtopomap  17752  qtopcmap  17753 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-qtop 13735  df-top 16965  df-topon 16968  df-cn 17293
 Copyright terms: Public domain W3C validator