Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptop2 Structured version   Unicode version

Theorem qtoptop2 17731
 Description: The quotient topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptop2 qTop

Proof of Theorem qtoptop2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4
21qtopres 17730 . . 3 qTop qTop
323ad2ant2 979 . 2 qTop qTop
4 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13
5 funres 5492 . . . . . . . . . . . . . . 15
653ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . 14
7 funforn 5660 . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
9 dmres 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15
10 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15
119, 10eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . . 14
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
131elqtop 17729 . . . . . . . . . . . . 13 qTop
144, 8, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 qTop
1514simprbda 607 . . . . . . . . . . 11 qTop
16 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12
1716elpw 3805 . . . . . . . . . . 11
1815, 17sylibr 204 . . . . . . . . . 10 qTop
1918ex 424 . . . . . . . . 9 qTop
2019ssrdv 3354 . . . . . . . 8 qTop
21 sstr2 3355 . . . . . . . 8 qTop qTop
2220, 21syl5com 28 . . . . . . 7 qTop
23 sspwuni 4176 . . . . . . 7
2422, 23syl6ib 218 . . . . . 6 qTop
25 imauni 5993 . . . . . . . 8
26 simpl1 960 . . . . . . . . 9 qTop
2714simplbda 608 . . . . . . . . . . 11 qTop
2827ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10 qTop
29 ssralv 3407 . . . . . . . . . 10 qTop qTop
3028, 29mpan9 456 . . . . . . . . 9 qTop
31 iunopn 16971 . . . . . . . . 9
3226, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . 8 qTop
3325, 32syl5eqel 2520 . . . . . . 7 qTop
3433ex 424 . . . . . 6 qTop
3524, 34jcad 520 . . . . 5 qTop
361elqtop 17729 . . . . . 6 qTop
374, 8, 12, 36syl3anc 1184 . . . . 5 qTop
3835, 37sylibrd 226 . . . 4 qTop qTop
3938alrimiv 1641 . . 3 qTop qTop
40 inss1 3561 . . . . . 6
411elqtop 17729 . . . . . . . . . 10 qTop
424, 8, 12, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 qTop
4342biimpa 471 . . . . . . . 8 qTop
4443adantrr 698 . . . . . . 7 qTop qTop
4544simpld 446 . . . . . 6 qTop qTop
4640, 45syl5ss 3359 . . . . 5 qTop qTop
476adantr 452 . . . . . . 7 qTop qTop
48 inpreima 5857 . . . . . . 7
4947, 48syl 16 . . . . . 6 qTop qTop
504adantr 452 . . . . . . 7 qTop qTop
5144simprd 450 . . . . . . 7 qTop qTop
5227adantrl 697 . . . . . . 7 qTop qTop
53 inopn 16972 . . . . . . 7
5450, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . 6 qTop qTop
5549, 54eqeltrd 2510 . . . . 5 qTop qTop
561elqtop 17729 . . . . . . 7 qTop
574, 8, 12, 56syl3anc 1184 . . . . . 6 qTop
5857adantr 452 . . . . 5 qTop qTop qTop
5946, 55, 58mpbir2and 889 . . . 4 qTop qTop qTop
6059ralrimivva 2798 . . 3 qTop qTop qTop
61 ovex 6106 . . . 4 qTop
62 istopg 16968 . . . 4 qTop qTop qTop qTop qTop qTop qTop
6361, 62ax-mp 8 . . 3 qTop qTop qTop qTop qTop qTop
6439, 60, 63sylanbrc 646 . 2 qTop
653, 64eqeltrd 2510 1 qTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015  ciun 4093  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879   cres 4880  cima 4881   wfun 5448  wfo 5452  (class class class)co 6081   qTop cqtop 13729  ctop 16958 This theorem is referenced by:  qtoptop  17732 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-qtop 13733  df-top 16963
 Copyright terms: Public domain W3C validator