MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Unicode version

Theorem qtoptopon 17411
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 foeq2 5464 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F : X -onto-> Y 
<->  F : U. J -onto-> Y ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X -onto-> Y  <->  F : U. J -onto-> Y ) )
43biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : U. J -onto-> Y )
5 fofn 5469 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  F  Fn  U. J
)
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  Fn  U. J )
7 topontop 16680 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
98qtoptop 17407 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  Fn  U. J )  ->  ( J qTop  F
)  e.  Top )
107, 9sylan 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  U. J )  -> 
( J qTop  F )  e.  Top )
116, 10syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
128qtopuni 17409 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
137, 12sylan 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : U. J -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
144, 13syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
15 istopon 16679 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  <->  ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  Y  =  U. ( J qTop  F
) ) )
1611, 14, 15sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   U.cuni 3843    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   qTop cqtop 13422   Topctop 16647  TopOnctopon 16648
This theorem is referenced by:  qtopid  17412  qtopcld  17420  qtopcn  17421  qtopeu  17423  qtoprest  17424  imastps  17428  kqtopon  17434  qtopf1  17523  qtophmeo  17524  divstgplem  17819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-qtop 13426  df-top 16652  df-topon 16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator