MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Unicode version

Theorem qtoptopon 17659
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 toponuni 16917 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 foeq2 5592 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F : X -onto-> Y 
<->  F : U. J -onto-> Y ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X -onto-> Y  <->  F : U. J -onto-> Y ) )
43biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : U. J -onto-> Y )
5 fofn 5597 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  F  Fn  U. J
)
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  Fn  U. J )
7 topontop 16916 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2389 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
98qtoptop 17655 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  Fn  U. J )  ->  ( J qTop  F
)  e.  Top )
107, 9sylan 458 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  U. J )  -> 
( J qTop  F )  e.  Top )
116, 10syldan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
128qtopuni 17657 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
137, 12sylan 458 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : U. J -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
144, 13syldan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
15 istopon 16915 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  <->  ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  Y  =  U. ( J qTop  F
) ) )
1611, 14, 15sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   U.cuni 3959    Fn wfn 5391   -onto->wfo 5394   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   qTop cqtop 13658   Topctop 16883  TopOnctopon 16884
This theorem is referenced by:  qtopid  17660  qtopcld  17668  qtopcn  17669  qtopeu  17671  qtoprest  17672  imastps  17676  kqtopon  17682  qtopf1  17771  qtophmeo  17772  divstgplem  18073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-qtop 13662  df-top 16888  df-topon 16891
  Copyright terms: Public domain W3C validator