MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Unicode version

Theorem qtoptopon 17395
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 toponuni 16665 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 foeq2 5448 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F : X -onto-> Y 
<->  F : U. J -onto-> Y ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X -onto-> Y  <->  F : U. J -onto-> Y ) )
43biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : U. J -onto-> Y )
5 fofn 5453 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  F  Fn  U. J
)
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  Fn  U. J )
7 topontop 16664 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
98qtoptop 17391 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  Fn  U. J )  ->  ( J qTop  F
)  e.  Top )
107, 9sylan 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  U. J )  -> 
( J qTop  F )  e.  Top )
116, 10syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
128qtopuni 17393 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
137, 12sylan 457 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : U. J -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
144, 13syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
15 istopon 16663 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  <->  ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  Y  =  U. ( J qTop  F
) ) )
1611, 14, 15sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827    Fn wfn 5250   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406   Topctop 16631  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  qtopid  17396  qtopcld  17404  qtopcn  17405  qtopeu  17407  qtoprest  17408  imastps  17412  kqtopon  17418  qtopf1  17507  qtophmeo  17508  divstgplem  17803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator