MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Unicode version

Theorem qtopuni 17393
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
qtopuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . . . . 5  |-  Y  C_  Y
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  Y
)
3 fof 5451 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
43adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
5 fimacnv 5657 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
7 qtoptop.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
87topopn 16652 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  e.  J
)
106, 9eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  e.  J
)
117elqtop2 17392 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( Y  C_  Y  /\  ( `' F " Y )  e.  J
) ) )
122, 10, 11mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  e.  ( J qTop  F ) )
13 elssuni 3855 . . 3  |-  ( Y  e.  ( J qTop  F
)  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
157elqtop2 17392 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( x  C_  Y  /\  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
16 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  C_  Y )
17 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1817elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P Y  <->  x  C_  Y
)
1916, 18sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  e.  ~P Y
)
2015, 19syl6bi 219 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  ->  x  e.  ~P Y ) )
2120ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F
)  C_  ~P Y
)
22 sspwuni 3987 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  C_  ~P Y  <->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2321, 22sylib 188 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2414, 23eqssd 3196 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   -onto->wfo 5253  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  qtoptopon  17395  qtopcmplem  17398  qtopkgen  17401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-qtop 13410  df-top 16636
  Copyright terms: Public domain W3C validator