MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopuni Structured version   Unicode version

Theorem qtopuni 17726
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtoptop.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
qtopuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)

Proof of Theorem qtopuni
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3359 . . . . 5  |-  Y  C_  Y
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  Y
)
3 fof 5645 . . . . . . 7  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  F : X --> Y )
43adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : X --> Y )
5 fimacnv 5854 . . . . . 6  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
7 qtoptop.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
87topopn 16971 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  e.  J
)
106, 9eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( `' F " Y )  e.  J
)
117elqtop2 17725 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( Y  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( Y  C_  Y  /\  ( `' F " Y )  e.  J
) ) )
122, 10, 11mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  e.  ( J qTop  F ) )
13 elssuni 4035 . . 3  |-  ( Y  e.  ( J qTop  F
)  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  C_  U. ( J qTop  F ) )
157elqtop2 17725 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( x  C_  Y  /\  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
16 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  C_  Y )
17 vex 2951 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1817elpw 3797 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P Y  <->  x  C_  Y
)
1916, 18sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  e.  ~P Y
)
2015, 19syl6bi 220 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( x  e.  ( J qTop  F )  ->  x  e.  ~P Y ) )
2120ssrdv 3346 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F
)  C_  ~P Y
)
22 sspwuni 4168 . . 3  |-  ( ( J qTop  F )  C_  ~P Y  <->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2321, 22sylib 189 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
2414, 23eqssd 3357 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442   -onto->wfo 5444  (class class class)co 6073   qTop cqtop 13721   Topctop 16950
This theorem is referenced by:  qtoptopon  17728  qtopcmplem  17731  qtopkgen  17734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-qtop 13725  df-top 16955
  Copyright terms: Public domain W3C validator