MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Unicode version

Theorem quad 20680
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quad.z  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
quad.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quad.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quad.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quad.d  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quad  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 quad.z . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 quad.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 quad.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 quad.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
6 quad.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
73sqcld 11521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
8 4cn 10074 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
91, 4mulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
10 mulcl 9074 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( A  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C
) )  e.  CC )
118, 9, 10sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
127, 11subcld 9411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
4  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )
136, 12eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1413sqrcld 12239 . 2  |-  ( ph  ->  ( sqr `  D
)  e.  CC )
1513sqsqrd 12241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
1615, 6eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( A  x.  C )
) ) )
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 20679 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( B  x.  X )  +  C
) )  =  0  <-> 
( X  =  ( ( -u B  +  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) )  \/  X  =  ( ( -u B  -  ( sqr `  D ) )  /  ( 2  x.  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   2c2 10049   4c4 10051   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038
This theorem is referenced by:  dcubic  20686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041
  Copyright terms: Public domain W3C validator