MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Unicode version

Theorem quart1cl 20166
Description: Closure lemmas for quart 20173. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1cl  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
2 quart1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 3cn 9834 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
4 8nn 9899 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN
54nncni 9772 . . . . . 6  |-  8  e.  CC
64nnne0i 9796 . . . . . 6  |-  8  =/=  0
73, 5, 6divcli 9518 . . . . 5  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
8 quart1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
98sqcld 11259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 8837 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
122, 11subcld 9173 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
131, 12eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
14 quart1.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
15 quart1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
168, 2mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
1716halfcld 9972 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
1815, 17subcld 9173 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
19 3nn0 9999 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
20 expcl 11137 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
218, 19, 20sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
225a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
236a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 9552 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
2518, 24addcld 8870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
2614, 25eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
27 quart1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
28 quart1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2915, 8mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
30 4cn 9836 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3130a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
32 4nn 9895 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
3332nnne0i 9796 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
3529, 31, 34divcld 9552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
3628, 35subcld 9173 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  -  (
( C  x.  A
)  /  4 ) )  e.  CC )
379, 2mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
38 1nn0 9997 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
39 6nn 9897 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
4038, 39decnncl 10153 . . . . . . . 8  |- ; 1 6  e.  NN
4140nncni 9772 . . . . . . 7  |- ; 1 6  e.  CC
4241a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
4340nnne0i 9796 . . . . . . 7  |- ; 1 6  =/=  0
4443a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
4537, 42, 44divcld 9552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
46 2nn0 9998 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
47 5nn0 10001 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
4846, 47deccl 10154 . . . . . . . . 9  |- ; 2 5  e.  NN0
4948, 39decnncl 10153 . . . . . . . 8  |- ;; 2 5 6  e.  NN
5049nncni 9772 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  e.  CC
5149nnne0i 9796 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  =/=  0
523, 50, 51divcli 9518 . . . . . 6  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
53 4nn0 10000 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
54 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
558, 53, 54sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
56 mulcl 8837 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
5752, 55, 56sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
5845, 57subcld 9173 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
5936, 58addcld 8870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
6027, 59eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
6113, 26, 603jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   8c8 9817   NN0cn0 9981  ;cdc 10140   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  quart1  20168  quartlem2  20170  quartlem3  20171  quartlem4  20172  quart  20173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator