MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Unicode version

Theorem quart1cl 20150
Description: Closure lemmas for quart 20157. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1cl  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
2 quart1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 3cn 9818 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
4 8nn 9883 . . . . . . 7  |-  8  e.  NN
54nncni 9756 . . . . . 6  |-  8  e.  CC
64nnne0i 9780 . . . . . 6  |-  8  =/=  0
73, 5, 6divcli 9502 . . . . 5  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
8 quart1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
98sqcld 11243 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
122, 11subcld 9157 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
131, 12eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
14 quart1.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
15 quart1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
168, 2mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
1716halfcld 9956 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
1815, 17subcld 9157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
19 3nn0 9983 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
20 expcl 11121 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
218, 19, 20sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
225a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
236a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 9536 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
2518, 24addcld 8854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  +  ( ( A ^ 3 )  /  8 ) )  e.  CC )
2614, 25eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
27 quart1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
28 quart1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2915, 8mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
30 4cn 9820 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
3130a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
32 4nn 9879 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
3332nnne0i 9780 . . . . . . 7  |-  4  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
3529, 31, 34divcld 9536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
3628, 35subcld 9157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  -  (
( C  x.  A
)  /  4 ) )  e.  CC )
379, 2mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
38 1nn0 9981 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
39 6nn 9881 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
4038, 39decnncl 10137 . . . . . . . 8  |- ; 1 6  e.  NN
4140nncni 9756 . . . . . . 7  |- ; 1 6  e.  CC
4241a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
4340nnne0i 9780 . . . . . . 7  |- ; 1 6  =/=  0
4443a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
4537, 42, 44divcld 9536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
46 2nn0 9982 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
47 5nn0 9985 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
4846, 47deccl 10138 . . . . . . . . 9  |- ; 2 5  e.  NN0
4948, 39decnncl 10137 . . . . . . . 8  |- ;; 2 5 6  e.  NN
5049nncni 9756 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  e.  CC
5149nnne0i 9780 . . . . . . 7  |- ;; 2 5 6  =/=  0
523, 50, 51divcli 9502 . . . . . 6  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
53 4nn0 9984 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
54 expcl 11121 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
558, 53, 54sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
56 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
5752, 55, 56sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
5845, 57subcld 9157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
5936, 58addcld 8854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
6027, 59eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
6113, 26, 603jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   8c8 9801   NN0cn0 9965  ;cdc 10124   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  quart1  20152  quartlem2  20154  quartlem3  20155  quartlem4  20156  quart  20157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator