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Theorem quart1lem 20204
Description: Lemma for quart1 20205. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart1.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart1.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart1.y  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( A  / 
4 ) ) )
Assertion
Ref Expression
quart1lem  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )

Proof of Theorem quart1lem
StepHypRef Expression
1 quart1.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2 quart1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 quart1.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3mulcld 8900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
54halfcld 10003 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  /  2
)  e.  CC )
61, 5subcld 9202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
7 3nn0 10030 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN0
8 expcl 11168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
92, 7, 8sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
10 8nn 9930 . . . . . . . . . . 11  |-  8  e.  NN
1110nncni 9801 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
1211a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  8  e.  CC )
1310nnne0i 9825 . . . . . . . . . 10  |-  8  =/=  0
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  8  =/=  0 )
159, 12, 14divcld 9581 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
3 )  /  8
)  e.  CC )
16 4cn 9865 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
18 4nn 9926 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
1918nnne0i 9825 . . . . . . . . . 10  |-  4  =/=  0
2019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
212, 17, 20divcld 9581 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  /  4
)  e.  CC )
226, 15, 21adddird 8905 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  / 
2 ) )  +  ( ( A ^
3 )  /  8
) )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  x.  ( A  / 
4 ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  / 
8 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )
23 quart1.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
2423oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) )  x.  ( A  /  4
) ) )
251, 2, 17, 20divassd 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  =  ( C  x.  ( A  / 
4 ) ) )
262sqvald 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
2726oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
282, 2, 3mul32d 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
2927, 28eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3029oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  8 ) )
31 2cn 9861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
32 4t2e8 9921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3316, 31, 32mulcomli 8889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
3433oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  x.  A )  /  8
)
3530, 34syl6eqr 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  x.  A )  /  ( 2  x.  4 ) ) )
3631a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
37 2ne0 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
394, 36, 2, 17, 38, 20divmuldivd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( A  x.  B )  x.  A )  / 
( 2  x.  4 ) ) )
4035, 39eqtr4d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( A  x.  B
)  /  2 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
4125, 40oveq12d 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  =  ( ( C  x.  ( A  /  4 ) )  -  ( ( ( A  x.  B )  /  2 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )
421, 5, 21subdird 9281 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2
) )  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( C  x.  ( A  / 
4 ) )  -  ( ( ( A  x.  B )  / 
2 )  x.  ( A  /  4 ) ) ) )
4341, 42eqtr4d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
44 df-4 9851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4544oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 4 )  =  ( A ^ (
3  +  1 ) )
46 expp1 11157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
472, 7, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
4845, 47syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
4948oveq1d 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  /  8 ) )
509, 2, 12, 14div23d 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A ) )
5149, 50eqtrd 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A ) )
5251oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  /  8
)  x.  A )  /  4 ) )
5315, 2, 17, 20divassd 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  A )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
5452, 53eqtrd 2348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  / 
4 ) ) )
5543, 54oveq12d 5918 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  x.  A )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) )  =  ( ( ( C  -  (
( A  x.  B
)  /  2 ) )  x.  ( A  /  4 ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  /  8 )  x.  ( A  /  4
) ) ) )
5622, 24, 553eqtr4d 2358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( ( C  x.  A
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )
571, 2mulcld 8900 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  e.  CC )
5857, 17, 20divcld 9581 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  /  4
)  e.  CC )
592sqcld 11290 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
6059, 3mulcld 8900 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6160, 12, 14divcld 9581 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  e.  CC )
62 4nn0 10031 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN0
63 expcl 11168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
642, 62, 63sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
6564, 12, 14divcld 9581 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  8
)  e.  CC )
6665, 17, 20divcld 9581 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  e.  CC )
6758, 61, 66subadd23d 9224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( C  x.  A )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) )  =  ( ( ( C  x.  A
)  /  4 )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) ) ) )
6866, 61subcld 9202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  e.  CC )
6958, 68addcomd 9059 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  A )  / 
4 )  +  ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  / 
4 ) ) )
7056, 67, 693eqtrd 2352 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4
) ) )
71 quart1.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
72 quart1.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
73 1nn0 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
74 6nn 9928 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
7573, 74decnncl 10184 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 6  e.  NN
7675nncni 9801 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 6  e.  CC
7776a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> ; 1
6  e.  CC )
7875nnne0i 9825 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 6  =/=  0
7978a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> ; 1
6  =/=  0 )
8060, 77, 79divcld 9581 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  e.  CC )
81 3cn 9863 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
82 2nn0 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
83 5nn0 10032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  NN0
8482, 83deccl 10185 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 2 5  e.  NN0
8584, 74decnncl 10184 . . . . . . . . . . 11  |- ;; 2 5 6  e.  NN
8685nncni 9801 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  e.  CC
8785nnne0i 9825 . . . . . . . . . 10  |- ;; 2 5 6  =/=  0
8881, 86, 87divcli 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC
89 mulcl 8866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  e.  CC  /\  ( A ^ 4 )  e.  CC )  ->  (
( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  e.  CC )
9088, 64, 89sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  e.  CC )
9180, 90subcld 9202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
9272, 91, 58addsubd 9223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  / 
4 ) )  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
9371, 92eqtr4d 2351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) )
9470, 93oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  =  ( ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) ) )
9572, 91addcld 8899 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  e.  CC )
9668, 58, 95ppncand 9242 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 ) )  +  ( ( C  x.  A )  /  4
) )  +  ( ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) ) ) ) )
9768, 72, 91add12d 9078 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  +  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) ) )
9861, 90addcld 8899 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  e.  CC )
9966, 80addcld 8899 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  +  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  e.  CC )
10098, 99negsubdi2d 9218 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
10166, 80addcomd 9059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  +  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )
102101oveq2d 5916 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 ) ) ) )
10361, 90, 80, 66addsub4d 9249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) ) )
10481a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
10586a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  e.  CC )
10687a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> ;; 2 5 6  =/=  0 )
107104, 64, 105, 106divassd 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  / ;; 2 5 6 )  =  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
108104, 64, 105, 106div23d 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  / ;; 2 5 6 )  =  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )
109 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
110 2p1e3 9894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  +  1 )  =  3
11131, 109, 110addcomli 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  +  2 )  =  3
112111oveq1i 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
113109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11464, 105, 106divcld 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )
115113, 36, 114adddird 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
116112, 115syl5eqr 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
117114mulid2d 8898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )
118117oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
119116, 118eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
120107, 108, 1193eqtr3d 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
12144oveq1i 5910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )
12266, 17, 20divcld 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  e.  CC )
123104, 113, 122adddird 8905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
124121, 123syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
12566, 17, 20divcan2d 9583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 ) )
126122mulid2d 8898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )
12765, 17, 17, 20, 20divdiv1d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4  x.  4 ) ) )
128 4t4e16 10244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  x.  4 )  = ; 1
6
129128oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4  x.  4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )
130127, 129syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / ; 1 6 ) )
13164, 12, 77, 14, 79divdiv1d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )  =  ( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) ) )
13211, 76mulcli 8887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 8  x. ; 1 6 )  e.  CC
133132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 8  x. ; 1 6 )  e.  CC )
13411, 76, 13, 78mulne0i 9456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 8  x. ; 1 6 )  =/=  0
135134a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 8  x. ; 1 6 )  =/=  0 )
13664, 133, 135divcld 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  e.  CC )
137136, 36, 38divcan2d 9583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  /  2 ) )  =  ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) ) )
13864, 133, 36, 135, 38divdiv1d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) )  /  2 )  =  ( ( A ^
4 )  /  (
( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 ) ) )
13911, 76, 31mul32i 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x. ; 1 6 )
140 2exp4 13147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
141 8t2e16 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 8  x.  2 )  = ; 1
6
142140, 141eqtr4i 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
143142, 140oveq12i 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( ( 8  x.  2 )  x. ; 1 6 )
144 4p4e8 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  +  4 )  =  8
145144oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( 2 ^ 8 )
146 expadd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) ) )
14731, 62, 62, 146mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ ( 4  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 4 ) )
148 2exp8 13149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
149145, 147, 1483eqtr3i 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  = ;; 2 5 6
150139, 143, 1493eqtr2i 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 )  = ;; 2 5 6
151150oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A ^ 4 )  /  ( ( 8  x. ; 1 6 )  x.  2 ) )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )
152138, 151syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
( 8  x. ; 1 6 ) )  /  2 )  =  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) )
153152oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
4 )  /  (
8  x. ; 1 6 ) )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
154131, 137, 1533eqtr2d 2354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )  =  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
155126, 130, 1543eqtrd 2352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )
156155oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) )  +  ( 1  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
157124, 125, 1563eqtr3d 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  =  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  /  4 ) )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )
158120, 157oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  -  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) ) )
159 mulcl 8866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) )  e.  CC )
16081, 122, 159sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  e.  CC )
161 mulcl 8866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
16231, 114, 161sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) )  e.  CC )
163114, 160, 162pnpcan2d 9240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) )  -  ( ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
164158, 163eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) )
165164oveq2d 5916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
) ) ) ) )
16680, 114, 160addsub12d 9225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) ) )
167165, 166eqtrd 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) ) ) ) )
16860, 12, 36, 14, 38divdiv1d 9612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  ( 8  x.  2 ) ) )
169141oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  ( 8  x.  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )
170168, 169syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  /  2
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
171170oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
17261, 36, 38divcan2d 9583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )
173802timesd 10001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
174171, 172, 1733eqtr3d 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
175174oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )
17680, 80pncand 9203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )
177175, 176eqtrd 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / 
8 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
178177oveq1d 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 ) ) ) )
179 quart1.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
180179oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )
18181, 11, 13divcli 9547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
182 mulcl 8866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  8
)  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
183181, 59, 182sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
18421sqcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  e.  CC )
1853, 183, 184subdird 9281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) )  =  ( ( B  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) )  -  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
1862, 17, 20sqdivd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
18716sqvali 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4 ^ 2 )  =  ( 4  x.  4 )
188187, 128eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4 ^ 2 )  = ; 1
6
189188oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  / ; 1 6 )
190186, 189syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) )
191190oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( B  x.  ( ( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
1923, 59, 77, 79divassd 9616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  / ; 1 6 )  =  ( B  x.  (
( A ^ 2 )  / ; 1 6 ) ) )
1933, 59mulcomd 8901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
194193oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( A ^ 2 ) )  / ; 1 6 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
195191, 192, 1943eqtr2d 2354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )
196181a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 3  /  8
)  e.  CC )
197196, 59, 59mulassd 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
198104, 64, 12, 14div23d 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
4 ) ) )
199 2p2e4 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  2 )  =  4
200199oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( A ^ 4 )
20182a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
2022, 201, 201expaddd 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
2  +  2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
203200, 202syl5eqr 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A ^ 4 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) ) )
204203oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 4 ) )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
205198, 204eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
206104, 64, 12, 14divassd 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( A ^ 4 ) )  /  8
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  / 
8 ) ) )
207197, 205, 2063eqtr2d 2354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
4 )  /  8
) ) )
208207oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 4 )  /  8 ) )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
209188, 77syl5eqel 2400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ 2 )  e.  CC )
210188, 78eqnetri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4 ^ 2 )  =/=  0
211210a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ 2 )  =/=  0 )
212183, 59, 209, 211divassd 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^
2 ) )  x.  ( A ^ 2 ) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
213104, 65, 209, 211divassd 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
4 )  /  8
) )  /  (
4 ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
214208, 212, 2133eqtr3d 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A ^ 2 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
215186oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A ^ 2 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
216188oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4 ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  / ; 1 6 )
217130, 216syl6eqr 2366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  /  4
)  =  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  ( 4 ^ 2 ) ) )
218217oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
( 4 ^ 2 ) ) ) )
219214, 215, 2183eqtr4d 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  / 
4 ) ) )
220195, 219oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) )  -  (
( ( 3  / 
8 )  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( ( A  /  4 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
221180, 185, 2203eqtrd 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) )
222221oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( 3  x.  (
( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  /  4 ) ) ) ) )
223167, 178, 2223eqtr4d 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  +  ( ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) )  -  (
( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 ) ) )  =  ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
224102, 103, 2233eqtrd 2352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
225224negeqd 9091 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^ 4 ) ) )  -  ( ( ( ( A ^
4 )  /  8
)  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) ) )  = 
-u ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) )
22666, 80, 61, 90addsub4d 9249 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 ) )  -  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 )  +  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  / 
8 )  /  4
)  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
227100, 225, 2263eqtr3rd 2357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) )  =  -u (
( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) )
228227oveq2d 5916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  / 
4 )  -  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  /  8 ) )  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  +  -u (
( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
2293, 183subcld 9202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( 3  /  8
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC )
230179, 229eqeltrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
231230, 184mulcld 8900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) )  e.  CC )
232114, 231addcld 8899 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
23372, 232negsubd 9208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  +  -u ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  / 
4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
23497, 228, 2333eqtrd 2352 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A ^ 4 )  /  8 )  /  4 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  /  8
) )  +  ( D  +  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  B
)  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) )
23594, 96, 2343eqtrd 2352 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( A  /  4
) )  +  R
)  =  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )
236235oveq2d 5916 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
237232, 72pncan3d 9205 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) )  +  ( D  -  ( ( ( A ^ 4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  ( ( A  /  4 ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  D )
238236, 237eqtr2d 2349 1  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( ( ( A ^
4 )  / ;; 2 5 6 )  +  ( P  x.  (
( A  /  4
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( Q  x.  ( A  /  4 ) )  +  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479  (class class class)co 5900   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    - cmin 9082   -ucneg 9083    / cdiv 9468   2c2 9840   3c3 9841   4c4 9842   5c5 9843   6c6 9844   8c8 9846   NN0cn0 10012  ;cdc 10171   ^cexp 11151
This theorem is referenced by:  quart1  20205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-seq 11094  df-exp 11152
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