MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem3 Unicode version

Theorem quartlem3 20567
Description: Closure lemmas for quart 20569. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart.e  |-  ( ph  ->  E  =  -u ( A  /  4 ) )
quart.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( P ^ 2 )  +  (; 1 2  x.  R
) ) )
quart.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( (
-u ( 2  x.  ( P ^ 3 ) )  -  (; 2 7  x.  ( Q ^
2 ) ) )  +  (; 7 2  x.  ( P  x.  R )
) ) )
quart.w  |-  ( ph  ->  W  =  ( sqr `  ( ( V ^
2 )  -  (
4  x.  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
quart.s  |-  ( ph  ->  S  =  ( ( sqr `  M )  /  2 ) )
quart.m  |-  ( ph  ->  M  =  -u (
( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T ) )  /  3 ) )
quart.t  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( ( V  +  W
)  /  2 )  ^ c  ( 1  /  3 ) ) )
quart.t0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
quartlem3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  T  e.  CC )
)

Proof of Theorem quartlem3
StepHypRef Expression
1 quart.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  ( ( sqr `  M )  /  2 ) )
2 quart.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  -u (
( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T ) )  /  3 ) )
3 2cn 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
4 quart.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 quart.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
6 quart.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
7 quart.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8 quart.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
9 quart.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
10 quart.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10quart1cl 20562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
1211simp1d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
13 mulcl 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  P  e.  CC )  ->  ( 2  x.  P
)  e.  CC )
143, 12, 13sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  P
)  e.  CC )
15 quart.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( ( V  +  W
)  /  2 )  ^ c  ( 1  /  3 ) ) )
16 quart.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  =  -u ( A  /  4 ) )
17 quart.u . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( P ^ 2 )  +  (; 1 2  x.  R
) ) )
18 quart.v . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  V  =  ( (
-u ( 2  x.  ( P ^ 3 ) )  -  (; 2 7  x.  ( Q ^
2 ) ) )  +  (; 7 2  x.  ( P  x.  R )
) ) )
19 quart.w . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  =  ( sqr `  ( ( V ^
2 )  -  (
4  x.  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
204, 5, 6, 7, 4, 16, 8, 9, 10, 17, 18, 19quartlem2 20566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  e.  CC  /\  V  e.  CC  /\  W  e.  CC )
)
2120simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  V  e.  CC )
2220simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  CC )
2321, 22addcld 9041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( V  +  W
)  e.  CC )
2423halfcld 10145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( V  +  W )  /  2
)  e.  CC )
25 3nn 10067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  NN
26 nnrecre 9969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
2827recni 9036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  3 )  e.  CC
29 cxpcl 20433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  +  W )  /  2
)  e.  CC  /\  ( 1  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( ( V  +  W )  /  2 )  ^ c  ( 1  / 
3 ) )  e.  CC )
3024, 28, 29sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( V  +  W )  / 
2 )  ^ c 
( 1  /  3
) )  e.  CC )
3115, 30eqeltrd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3214, 31addcld 9041 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  P )  +  T
)  e.  CC )
3320simp1d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
34 quart.t0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
3533, 31, 34divcld 9723 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  /  T
)  e.  CC )
3632, 35addcld 9041 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T ) )  e.  CC )
37 3cn 10005 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
39 3ne0 10018 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
4136, 38, 40divcld 9723 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T
) )  /  3
)  e.  CC )
4241negcld 9331 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( 2  x.  P
)  +  T )  +  ( U  /  T ) )  / 
3 )  e.  CC )
432, 42eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4443sqrcld 12167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  M
)  e.  CC )
4544halfcld 10145 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  M
)  /  2 )  e.  CC )
461, 45eqeltrd 2462 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
4746, 43, 313jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( S  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  T  e.  CC )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    - cmin 9224   -ucneg 9225    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   3c3 9983   4c4 9984   5c5 9985   6c6 9986   7c7 9987   8c8 9988  ;cdc 10315   ^cexp 11310   sqrcsqr 11966    ^ c ccxp 20321
This theorem is referenced by:  quartlem4  20568  quart  20569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323
  Copyright terms: Public domain W3C validator