MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem4 Structured version   Unicode version

Theorem quartlem4 20701
Description: Closure lemmas for quart 20702. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
quart.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
quart.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
quart.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
quart.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
quart.e  |-  ( ph  ->  E  =  -u ( A  /  4 ) )
quart.p  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
quart.q  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
quart.r  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
quart.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( P ^ 2 )  +  (; 1 2  x.  R
) ) )
quart.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( (
-u ( 2  x.  ( P ^ 3 ) )  -  (; 2 7  x.  ( Q ^
2 ) ) )  +  (; 7 2  x.  ( P  x.  R )
) ) )
quart.w  |-  ( ph  ->  W  =  ( sqr `  ( ( V ^
2 )  -  (
4  x.  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
quart.s  |-  ( ph  ->  S  =  ( ( sqr `  M )  /  2 ) )
quart.m  |-  ( ph  ->  M  =  -u (
( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T ) )  /  3 ) )
quart.t  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( ( V  +  W
)  /  2 )  ^ c  ( 1  /  3 ) ) )
quart.t0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
quart.m0  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
quart.i  |-  ( ph  ->  I  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  +  ( ( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
quart.j  |-  ( ph  ->  J  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  -  (
( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
quartlem4  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  0  /\  I  e.  CC  /\  J  e.  CC ) )

Proof of Theorem quartlem4
StepHypRef Expression
1 quart.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  ( ( sqr `  M )  /  2 ) )
2 quart.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 quart.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 quart.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 quart.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
6 quart.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  -u ( A  /  4 ) )
7 quart.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( B  -  ( ( 3  /  8 )  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
8 quart.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  =  ( ( C  -  ( ( A  x.  B )  /  2 ) )  +  ( ( A ^ 3 )  / 
8 ) ) )
9 quart.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( ( D  -  ( ( C  x.  A )  /  4 ) )  +  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  / ; 1 6 )  -  ( ( 3  / ;; 2 5 6 )  x.  ( A ^
4 ) ) ) ) )
10 quart.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( P ^ 2 )  +  (; 1 2  x.  R
) ) )
11 quart.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( (
-u ( 2  x.  ( P ^ 3 ) )  -  (; 2 7  x.  ( Q ^
2 ) ) )  +  (; 7 2  x.  ( P  x.  R )
) ) )
12 quart.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  =  ( sqr `  ( ( V ^
2 )  -  (
4  x.  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
13 quart.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  -u (
( ( ( 2  x.  P )  +  T )  +  ( U  /  T ) )  /  3 ) )
14 quart.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =  ( ( ( V  +  W
)  /  2 )  ^ c  ( 1  /  3 ) ) )
15 quart.t0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
162, 3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15quartlem3 20700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  T  e.  CC )
)
1716simp2d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817sqrcld 12240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  M
)  e.  CC )
19 2cn 10071 . . . . 5  |-  2  e.  CC
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2117sqsqrd 12242 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  M
) ^ 2 )  =  M )
22 quart.m0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
2321, 22eqnetrd 2620 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  M
) ^ 2 )  =/=  0 )
24 sqne0 11449 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  M )  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  M
) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  M )  =/=  0
) )
2518, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  M ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( sqr `  M )  =/=  0 ) )
2623, 25mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  M
)  =/=  0 )
27 2ne0 10084 . . . . 5  |-  2  =/=  0
2827a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
2918, 20, 26, 28divne0d 9807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  M
)  /  2 )  =/=  0 )
301, 29eqnetrd 2620 . 2  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
31 quart.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  +  ( ( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
3216simp1d 970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
3332sqcld 11522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S ^ 2 )  e.  CC )
3433negcld 9399 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( S ^
2 )  e.  CC )
352, 3, 4, 5, 7, 8, 9quart1cl 20695 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  e.  CC  /\  Q  e.  CC  /\  R  e.  CC )
)
3635simp1d 970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
3736halfcld 10213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  /  2
)  e.  CC )
3834, 37subcld 9412 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  e.  CC )
3935simp2d 971 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
40 4cn 10075 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
42 4nn 10136 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN
4342nnne0i 10035 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
4539, 41, 44divcld 9791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  /  4
)  e.  CC )
4645, 32, 30divcld 9791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  / 
4 )  /  S
)  e.  CC )
4738, 46addcld 9108 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  +  ( ( Q  /  4
)  /  S ) )  e.  CC )
4847sqrcld 12240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( -u ( S ^
2 )  -  ( P  /  2 ) )  +  ( ( Q  /  4 )  /  S ) ) )  e.  CC )
4931, 48eqeltrd 2511 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  CC )
50 quart.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  =  ( sqr `  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  -  (
( Q  /  4
)  /  S ) ) ) )
5138, 46subcld 9412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( S ^ 2 )  -  ( P  /  2
) )  -  (
( Q  /  4
)  /  S ) )  e.  CC )
5251sqrcld 12240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( -u ( S ^
2 )  -  ( P  /  2 ) )  -  ( ( Q  /  4 )  /  S ) ) )  e.  CC )
5350, 52eqeltrd 2511 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
5430, 49, 533jca 1135 1  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  0  /\  I  e.  CC  /\  J  e.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   2c2 10050   3c3 10051   4c4 10052   5c5 10053   6c6 10054   7c7 10055   8c8 10056  ;cdc 10383   ^cexp 11383   sqrcsqr 12039    ^ c ccxp 20454
This theorem is referenced by:  quart  20702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-log 20455  df-cxp 20456
  Copyright terms: Public domain W3C validator