Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremz Structured version   Unicode version

Theorem quoremz 11228
 Description: Quotient and remainder of an integer divided by a natural number. TO DO - is this really needed for anything? Should we use to simplify it? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1
quorem.2
Assertion
Ref Expression
quoremz

Proof of Theorem quoremz
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3
2 zre 10278 . . . . . 6
32adantr 452 . . . . 5
4 nnre 9999 . . . . . 6
54adantl 453 . . . . 5
6 nnne0 10024 . . . . . 6
76adantl 453 . . . . 5
83, 5, 7redivcld 9834 . . . 4
98flcld 11199 . . 3
101, 9syl5eqel 2519 . 2
11 quorem.2 . . 3
1210zcnd 10368 . . . . . . 7
13 nncn 10000 . . . . . . . 8
1413adantl 453 . . . . . . 7
1512, 14, 7divcan3d 9787 . . . . . 6
16 flle 11200 . . . . . . . 8
178, 16syl 16 . . . . . . 7
181, 17syl5eqbr 4237 . . . . . 6
1915, 18eqbrtrd 4224 . . . . 5
20 nnz 10295 . . . . . . . . 9
2120adantl 453 . . . . . . . 8
2221, 10zmulcld 10373 . . . . . . 7
2322zred 10367 . . . . . 6
24 nngt0 10021 . . . . . . 7
2524adantl 453 . . . . . 6
26 lediv1 9867 . . . . . 6
2723, 3, 5, 25, 26syl112anc 1188 . . . . 5
2819, 27mpbird 224 . . . 4
29 simpl 444 . . . . 5
30 znn0sub 10315 . . . . 5
3122, 29, 30syl2anc 643 . . . 4
3228, 31mpbid 202 . . 3
3311, 32syl5eqel 2519 . 2
341oveq2i 6084 . . . . . 6
35 fraclt1 11203 . . . . . . 7
368, 35syl 16 . . . . . 6
3734, 36syl5eqbr 4237 . . . . 5
3811oveq1i 6083 . . . . . 6
39 zcn 10279 . . . . . . . . 9
4039adantr 452 . . . . . . . 8
4122zcnd 10368 . . . . . . . 8
4213, 6jca 519 . . . . . . . . 9
4342adantl 453 . . . . . . . 8
44 divsubdir 9702 . . . . . . . 8
4540, 41, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . 7
4615oveq2d 6089 . . . . . . 7
4745, 46eqtrd 2467 . . . . . 6
4838, 47syl5eq 2479 . . . . 5
4913, 6dividd 9780 . . . . . 6
5049adantl 453 . . . . 5
5137, 48, 503brtr4d 4234 . . . 4
5233nn0red 10267 . . . . 5
53 ltdiv1 9866 . . . . 5
5452, 5, 5, 25, 53syl112anc 1188 . . . 4
5551, 54mpbird 224 . . 3
5611oveq2i 6084 . . . 4
5741, 40pncan3d 9406 . . . 4
5856, 57syl5req 2480 . . 3
5955, 58jca 519 . 2
6010, 33, 59jca31 521 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cfl 11193 This theorem is referenced by:  quoremnn0  11229 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fl 11194
 Copyright terms: Public domain W3C validator