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Theorem quotcan 20231
 Description: Exact division with a multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
quotcan.1
Assertion
Ref Expression
quotcan Poly Poly quot

Proof of Theorem quotcan
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 20124 . . . . . . . . 9 Poly Poly
2 simp2 959 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
31, 2sseldi 3348 . . . . . . . 8 Poly Poly Poly
4 simp1 958 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
51, 4sseldi 3348 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
6 quotcan.1 . . . . . . . . . . . 12
7 plymulcl 20145 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly
86, 7syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
983adant3 978 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
10 simp3 960 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
11 quotcl2 20224 . . . . . . . . . 10 Poly Poly quot Poly
129, 3, 10, 11syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 Poly Poly quot Poly
13 plysubcl 20146 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly quot Poly
145, 12, 13syl2anc 644 . . . . . . . 8 Poly Poly quot Poly
15 plymul0or 20203 . . . . . . . 8 Poly quot Poly quot quot
163, 14, 15syl2anc 644 . . . . . . 7 Poly Poly quot quot
17 cnex 9076 . . . . . . . . . . . . 13
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
19 plyf 20122 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
204, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
21 plyf 20122 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
222, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
23 mulcom 9081 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantl 454 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
2518, 20, 22, 24caofcom 6339 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
266, 25syl5eq 2482 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
2726oveq1d 6099 . . . . . . . . 9 Poly Poly quot quot
28 plyf 20122 . . . . . . . . . . 11 quot Poly quot
2912, 28syl 16 . . . . . . . . . 10 Poly Poly quot
30 subdi 9472 . . . . . . . . . . 11
3130adantl 454 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
3218, 22, 20, 29, 31caofdi 6343 . . . . . . . . 9 Poly Poly quot quot
3327, 32eqtr4d 2473 . . . . . . . 8 Poly Poly quot quot
3433eqeq1d 2446 . . . . . . 7 Poly Poly quot quot
3510neneqd 2619 . . . . . . . 8 Poly Poly
36 biorf 396 . . . . . . . 8 quot quot
3735, 36syl 16 . . . . . . 7 Poly Poly quot quot
3816, 34, 373bitr4d 278 . . . . . 6 Poly Poly quot quot
3938biimpd 200 . . . . 5 Poly Poly quot quot
40 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 deg deg
41 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 deg quot deg quot
4240, 41dgrmul 20193 . . . . . . . . . 10 Poly quot Poly quot deg quot deg deg quot
4342expr 600 . . . . . . . . 9 Poly quot Poly quot deg quot deg deg quot
443, 10, 14, 43syl21anc 1184 . . . . . . . 8 Poly Poly quot deg quot deg deg quot
45 dgrcl 20157 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
462, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly deg
4746nn0red 10280 . . . . . . . . . 10 Poly Poly deg
48 dgrcl 20157 . . . . . . . . . . 11 quot Poly deg quot
4914, 48syl 16 . . . . . . . . . 10 Poly Poly deg quot
50 nn0addge1 10271 . . . . . . . . . 10 deg deg quot deg deg deg quot
5147, 49, 50syl2anc 644 . . . . . . . . 9 Poly Poly deg deg deg quot
52 breq2 4219 . . . . . . . . 9 deg quot deg deg quot deg deg quot deg deg deg quot
5351, 52syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8 Poly Poly deg quot deg deg quot deg deg quot
5444, 53syld 43 . . . . . . 7 Poly Poly quot deg deg quot
5533fveq2d 5735 . . . . . . . . 9 Poly Poly deg quot deg quot
5655breq2d 4227 . . . . . . . 8 Poly Poly deg deg quot deg deg quot
57 plymulcl 20145 . . . . . . . . . . . . 13 Poly quot Poly quot Poly
583, 12, 57syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly quot Poly
59 plysubcl 20146 . . . . . . . . . . . 12 Poly quot Poly quot Poly
609, 58, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly quot Poly
61 dgrcl 20157 . . . . . . . . . . 11 quot Poly deg quot
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10 Poly Poly deg quot
6362nn0red 10280 . . . . . . . . 9 Poly Poly deg quot
6447, 63lenltd 9224 . . . . . . . 8 Poly Poly deg deg quot deg quot deg
6556, 64bitr3d 248 . . . . . . 7 Poly Poly deg deg quot deg quot deg
6654, 65sylibd 207 . . . . . 6 Poly Poly quot deg quot deg
6766necon4ad 2667 . . . . 5 Poly Poly deg quot deg quot
68 eqid 2438 . . . . . . 7 quot quot
6968quotdgr 20225 . . . . . 6 Poly Poly quot deg quot deg
709, 3, 10, 69syl3anc 1185 . . . . 5 Poly Poly quot deg quot deg
7139, 67, 70mpjaod 372 . . . 4 Poly Poly quot
72 df-0p 19565 . . . 4
7371, 72syl6eq 2486 . . 3 Poly Poly quot
74 ofsubeq0 10002 . . . 4 quot quot quot
7518, 20, 29, 74syl3anc 1185 . . 3 Poly Poly quot quot
7673, 75mpbid 203 . 2 Poly Poly quot
7776eqcomd 2443 1 Poly Poly quot
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958  csn 3816   class class class wbr 4215   cxp 4879  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cc 8993  cr 8994  cc0 8995   caddc 8998   cmul 9000   clt 9125   cle 9126   cmin 9296  cn0 10226  c0p 19564  Polycply 20108  degcdgr 20111   quot cquot 20212 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-0p 19565  df-ply 20112  df-coe 20114  df-dgr 20115  df-quot 20213
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