Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quotlem Structured version   Unicode version

Theorem quotlem 20217
 Description: Lemma for properties of the polynomial quotient function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl
plydiv.tm
plydiv.rc
plydiv.m1
plydiv.f Poly
plydiv.g Poly
plydiv.z
quotlem.8 quot
Assertion
Ref Expression
quotlem quot Poly deg deg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem quotlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . 5 Poly
2 plydiv.g . . . . 5 Poly
3 plydiv.z . . . . 5
4 eqid 2436 . . . . . 6
54quotval 20209 . . . . 5 Poly Poly quot Poly deg deg
61, 2, 3, 5syl3anc 1184 . . . 4 quot Poly deg deg
7 plydiv.pl . . . . . . 7
8 plydiv.tm . . . . . . 7
9 plydiv.rc . . . . . . 7
10 plydiv.m1 . . . . . . 7
117, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4plydivalg 20216 . . . . . 6 Poly deg deg
12 reurex 2922 . . . . . 6 Poly deg deg Poly deg deg
1311, 12syl 16 . . . . 5 Poly deg deg
14 addcl 9072 . . . . . . 7
1514adantl 453 . . . . . 6
16 mulcl 9074 . . . . . . 7
1716adantl 453 . . . . . 6
18 reccl 9685 . . . . . . 7
1918adantl 453 . . . . . 6
20 neg1cn 10067 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
22 plyssc 20119 . . . . . . 7 Poly Poly
2322, 1sseldi 3346 . . . . . 6 Poly
2422, 2sseldi 3346 . . . . . 6 Poly
2515, 17, 19, 21, 23, 24, 3, 4plydivalg 20216 . . . . 5 Poly deg deg
26 id 20 . . . . . . 7 deg deg deg deg
2726rgenw 2773 . . . . . 6 Poly deg deg deg deg
28 riotass2 6577 . . . . . 6 Poly Poly Poly deg deg deg deg Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg
2922, 27, 28mpanl12 664 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg
3013, 25, 29syl2anc 643 . . . 4 Poly deg deg Poly deg deg
316, 30eqtr4d 2471 . . 3 quot Poly deg deg
32 riotacl2 6563 . . . 4 Poly deg deg Poly deg deg Poly deg deg
3311, 32syl 16 . . 3 Poly deg deg Poly deg deg
3431, 33eqeltrd 2510 . 2 quot Poly deg deg
35 oveq2 6089 . . . . . . 7 quot quot
3635oveq2d 6097 . . . . . 6 quot quot
37 quotlem.8 . . . . . 6 quot
3836, 37syl6eqr 2486 . . . . 5 quot
3938eqeq1d 2444 . . . 4 quot
4038fveq2d 5732 . . . . 5 quot deg deg
4140breq1d 4222 . . . 4 quot deg deg deg deg
4239, 41orbi12d 691 . . 3 quot deg deg deg deg
4342elrab 3092 . 2 quot Poly deg deg quot Poly deg deg
4434, 43sylib 189 1 quot Poly deg deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  wreu 2707  crab 2709   wss 3320   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  crio 6542  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cmin 9291  cneg 9292   cdiv 9677  c0p 19561  Polycply 20103  degcdgr 20106   quot cquot 20207 This theorem is referenced by:  quotcl  20218  quotdgr  20220 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-0p 19562  df-ply 20107  df-coe 20109  df-dgr 20110  df-quot 20208
 Copyright terms: Public domain W3C validator