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Theorem qusp 25542
Description: A quotient space is a topology. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
qusp.1  |-  X  = 
U. J
qusp.2  |-  R  Er  A
Assertion
Ref Expression
qusp  |-  ( J  e.  Top  ->  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  Top )
Distinct variable groups:    x, X    x, J    x, R
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem qusp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  y  (
x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  <->  A. x ( x  e.  y  ->  ( x  C_  ( X /. R
)  /\  U. x  e.  J ) ) )
2 r19.26 2675 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  y  (
x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  <->  ( A. x  e.  y  x  C_  ( X /. R )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )
)
3 unissb 3857 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  C_  ( X /. R )  <->  A. x  e.  y  x  C_  ( X /. R ) )
4 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
U. y  C_  ( X /. R ) )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  U. y  C_  ( X /. R
) )
5 uniuni 4527 . . . . . . . . . . 11  |-  U. U. y  =  U. { z  |  E. x ( z  =  U. x  /\  x  e.  y
) }
6 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
U. y  C_  ( X /. R ) )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  J  e.  Top )
7 df-ral 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  y  U. x  e.  J  <->  A. x
( x  e.  y  ->  U. x  e.  J
) )
8 nfa1 1756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x A. x ( x  e.  y  ->  U. x  e.  J )
9 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  z  e.  J
10 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U. x  e.  J  ->  ( z  =  U. x  ->  z  e.  J ) )
1110imim2i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  y  ->  U. x  e.  J
)  ->  ( x  e.  y  ->  ( z  =  U. x  -> 
z  e.  J ) ) )
1211com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  ->  U. x  e.  J
)  ->  ( z  =  U. x  ->  (
x  e.  y  -> 
z  e.  J ) ) )
1312imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  y  ->  U. x  e.  J
)  ->  ( (
z  =  U. x  /\  x  e.  y
)  ->  z  e.  J ) )
1413sps 1739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x ( x  e.  y  ->  U. x  e.  J )  ->  (
( z  =  U. x  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  J ) )
158, 9, 14exlimd 1803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x ( x  e.  y  ->  U. x  e.  J )  ->  ( E. x ( z  = 
U. x  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  J ) )
1615alrimiv 1617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x ( x  e.  y  ->  U. x  e.  J )  ->  A. z
( E. x ( z  =  U. x  /\  x  e.  y
)  ->  z  e.  J ) )
177, 16sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  y  U. x  e.  J  ->  A. z ( E. x
( z  =  U. x  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  J ) )
1817adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
U. y  C_  ( X /. R ) )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  A. z
( E. x ( z  =  U. x  /\  x  e.  y
)  ->  z  e.  J ) )
19 abss 3242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  |  E. x
( z  =  U. x  /\  x  e.  y ) }  C_  J  <->  A. z ( E. x
( z  =  U. x  /\  x  e.  y )  ->  z  e.  J ) )
2018, 19sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
U. y  C_  ( X /. R ) )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  { z  |  E. x ( z  =  U. x  /\  x  e.  y
) }  C_  J
)
21 uniopn 16643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { z  |  E. x
( z  =  U. x  /\  x  e.  y ) }  C_  J
)  ->  U. { z  |  E. x ( z  =  U. x  /\  x  e.  y
) }  e.  J
)
226, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
U. y  C_  ( X /. R ) )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  U. {
z  |  E. x
( z  =  U. x  /\  x  e.  y ) }  e.  J
)
235, 22syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
U. y  C_  ( X /. R ) )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  U. U. y  e.  J )
244, 23jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\ 
U. y  C_  ( X /. R ) )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  ( U. y  C_  ( X /. R )  /\  U.
U. y  e.  J
) )
2524exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. y  C_  ( X /. R )  -> 
( A. x  e.  y  U. x  e.  J  ->  ( U. y  C_  ( X /. R )  /\  U. U. y  e.  J ) ) ) )
263, 25syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  ( X /. R )  ->  ( A. x  e.  y  U. x  e.  J  ->  ( U. y  C_  ( X /. R )  /\  U. U. y  e.  J ) ) ) )
2726imp3a 420 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( A. x  e.  y  x  C_  ( X /. R )  /\  A. x  e.  y  U. x  e.  J )  ->  ( U. y  C_  ( X /. R )  /\  U. U. y  e.  J ) ) )
282, 27syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  y 
( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  ->  ( U. y  C_  ( X /. R
)  /\  U. U. y  e.  J ) ) )
291, 28syl5bir 209 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  e.  y  ->  ( x  C_  ( X /. R
)  /\  U. x  e.  J ) )  -> 
( U. y  C_  ( X /. R )  /\  U. U. y  e.  J ) ) )
30 ssab 3243 . . . 4  |-  ( y 
C_  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  <->  A. x ( x  e.  y  ->  (
x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )
) )
31 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
3231uniex 4516 . . . . 5  |-  U. y  e.  _V
33 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  C_  ( X /. R )  <->  U. y  C_  ( X /. R
) ) )
34 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  ->  U. x  =  U. U. y )
3534eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. y  -> 
( U. x  e.  J  <->  U. U. y  e.  J ) )
3633, 35anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  <->  ( U. y  C_  ( X /. R )  /\  U. U. y  e.  J ) ) )
3732, 36elab 2914 . . . 4  |-  ( U. y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  <->  ( U. y  C_  ( X /. R )  /\  U. U. y  e.  J ) )
3829, 30, 373imtr4g 261 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
y  C_  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ->  U. y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } ) )
3938alrimiv 1617 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  A. y
( y  C_  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ->  U. y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } ) )
40 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( X /. R )  <->  y  C_  ( X /. R ) ) )
41 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
4241eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( U. x  e.  J  <->  U. y  e.  J ) )
4340, 42anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  <-> 
( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J ) ) )
4431, 43elab 2914 . . . 4  |-  ( y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  <->  ( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J ) )
45 an4 797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J )  /\  ( z  C_  ( X /. R )  /\  U. z  e.  J ) )  <->  ( (
y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R
) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J
) ) )
46 ssinss1 3397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  ( X /. R )  ->  (
y  i^i  z )  C_  ( X /. R
) )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J
) )  ->  (
y  i^i  z )  C_  ( X /. R
) )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  ( X /. R ) )
49 qusp.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  Er  A
5049uninqs 25039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R
) )  ->  U. (
y  i^i  z )  =  ( U. y  i^i  U. z ) )
5150ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J ) ) )  ->  U. ( y  i^i  z )  =  ( U. y  i^i  U. z ) )
52 inopn 16645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J )  ->  ( U. y  i^i  U. z )  e.  J )
53523expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J )  ->  ( U. y  i^i  U. z
)  e.  J ) )
5453com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J
)  ->  ( J  e.  Top  ->  ( U. y  i^i  U. z )  e.  J ) )
5554adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J
) )  ->  ( J  e.  Top  ->  ( U. y  i^i  U. z
)  e.  J ) )
5655impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J ) ) )  ->  ( U. y  i^i  U. z )  e.  J )
5751, 56eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J ) ) )  ->  U. ( y  i^i  z )  e.  J
)
5848, 57jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J ) ) )  ->  ( ( y  i^i  z )  C_  ( X /. R )  /\  U. ( y  i^i  z )  e.  J ) )
5958ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( y  C_  ( X /. R )  /\  z  C_  ( X /. R ) )  /\  ( U. y  e.  J  /\  U. z  e.  J ) )  -> 
( ( y  i^i  z )  C_  ( X /. R )  /\  U. ( y  i^i  z
)  e.  J ) ) )
6045, 59syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J )  /\  (
z  C_  ( X /. R )  /\  U. z  e.  J )
)  ->  ( (
y  i^i  z )  C_  ( X /. R
)  /\  U. (
y  i^i  z )  e.  J ) ) )
6160expdimp 426 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J ) )  ->  ( (
z  C_  ( X /. R )  /\  U. z  e.  J )  ->  ( ( y  i^i  z )  C_  ( X /. R )  /\  U. ( y  i^i  z
)  e.  J ) ) )
62 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
63 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  ( X /. R )  <->  z  C_  ( X /. R ) ) )
64 unieq 3836 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  U. x  =  U. z )
6564eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( U. x  e.  J  <->  U. z  e.  J ) )
6663, 65anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  <-> 
( z  C_  ( X /. R )  /\  U. z  e.  J ) ) )
6762, 66elab 2914 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  <->  ( z  C_  ( X /. R )  /\  U. z  e.  J ) )
6831inex1 4155 . . . . . . . 8  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
69 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  C_  ( X /. R )  <->  ( y  i^i  z )  C_  ( X /. R ) ) )
70 unieq 3836 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  U. x  =  U. ( y  i^i  z ) )
7170eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( U. x  e.  J  <->  U. ( y  i^i  z
)  e.  J ) )
7269, 71anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  <-> 
( ( y  i^i  z )  C_  ( X /. R )  /\  U. ( y  i^i  z
)  e.  J ) ) )
7368, 72elab 2914 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  <->  ( ( y  i^i  z )  C_  ( X /. R )  /\  U. ( y  i^i  z )  e.  J ) )
7461, 67, 733imtr4g 261 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J ) )  ->  ( z  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } ) )
7574ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J ) )  ->  A. z  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } )
7675ex 423 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( y  C_  ( X /. R )  /\  U. y  e.  J )  ->  A. z  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } ) )
7744, 76syl5bi 208 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ->  A. z  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } ) )
7877ralrimiv 2625 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  A. y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } A. z  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } )
79 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
8079elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P ( X /. R )  <->  x  C_  ( X /. R ) )
8180bicomi 193 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( X /. R )  <->  x  e.  ~P ( X /. R
) )
8281a1i 10 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  C_  ( X /. R )  <->  x  e.  ~P ( X /. R
) ) )
8382anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J )  <-> 
( x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) ) )
8483abbidv 2397 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  =  { x  |  (
x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } )
85 ssab2 3257 . . . . 5  |-  { x  |  ( x  e. 
~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  C_  ~P ( X /. R )
86 qusp.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
87 uniexg 4517 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
8886, 87syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  _V )
8988adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  |  ( x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  C_  ~P ( X /. R )  /\  J  e.  Top )  ->  X  e.  _V )
90 qsexg 6717 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X /. R )  e. 
_V )
91 pwexg 4194 . . . . . . 7  |-  ( ( X /. R )  e.  _V  ->  ~P ( X /. R )  e.  _V )
9289, 90, 913syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( { x  |  ( x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  C_  ~P ( X /. R )  /\  J  e.  Top )  ->  ~P ( X /. R )  e.  _V )
93 ssexg 4160 . . . . . 6  |-  ( ( { x  |  ( x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  C_  ~P ( X /. R )  /\  ~P ( X /. R
)  e.  _V )  ->  { x  |  ( x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  _V )
9492, 93syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  ( x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  C_  ~P ( X /. R )  /\  J  e.  Top )  ->  { x  |  ( x  e.  ~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  _V )
9585, 94mpan 651 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  { x  |  ( x  e. 
~P ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  _V )
9684, 95eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  _V )
97 istopg 16641 . . 3  |-  ( { x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  _V  ->  ( { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ->  U. y  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } )  /\  A. y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } A. z  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } ) ) )
9896, 97syl 15 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( { x  |  (
x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  ->  U. y  e.  {
x  |  ( x 
C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } )  /\  A. y  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } A. z  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) } ) ) )
9939, 78, 98mpbir2and 888 1  |-  ( J  e.  Top  ->  { x  |  ( x  C_  ( X /. R )  /\  U. x  e.  J ) }  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    Er wer 6657   /.cqs 6659   Topctop 16631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-top 16636
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