Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0cld Structured version   Unicode version

Theorem r0cld 17772
 Description: The analogue of the T1 axiom (singletons are closed) for an R0 space. In an R0 space the set of all points topologically indistinguishable from is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
r0cld TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem r0cld
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . 6
21kqffn 17759 . . . . 5 TopOn
323ad2ant1 979 . . . 4 TopOn KQ
4 fncnvima2 5854 . . . 4
53, 4syl 16 . . 3 TopOn KQ
6 fvex 5744 . . . . . 6
76elsnc 3839 . . . . 5
8 simpl1 961 . . . . . 6 TopOn KQ TopOn
9 simpr 449 . . . . . 6 TopOn KQ
10 simpl3 963 . . . . . 6 TopOn KQ
111kqfeq 17758 . . . . . . 7 TopOn
12 eleq2 2499 . . . . . . . . 9
13 eleq2 2499 . . . . . . . . 9
1412, 13bibi12d 314 . . . . . . . 8
1514cbvralv 2934 . . . . . . 7
1611, 15syl6bb 254 . . . . . 6 TopOn
178, 9, 10, 16syl3anc 1185 . . . . 5 TopOn KQ
187, 17syl5bb 250 . . . 4 TopOn KQ
1918rabbidva 2949 . . 3 TopOn KQ
205, 19eqtrd 2470 . 2 TopOn KQ
211kqid 17762 . . . 4 TopOn KQ
22213ad2ant1 979 . . 3 TopOn KQ KQ
23 simp2 959 . . . 4 TopOn KQ KQ
24 simp3 960 . . . . . 6 TopOn KQ
25 fnfvelrn 5869 . . . . . 6
263, 24, 25syl2anc 644 . . . . 5 TopOn KQ
271kqtopon 17761 . . . . . . 7 TopOn KQ TopOn
28273ad2ant1 979 . . . . . 6 TopOn KQ KQ TopOn
29 toponuni 16994 . . . . . 6 KQ TopOn KQ
3028, 29syl 16 . . . . 5 TopOn KQ KQ
3126, 30eleqtrd 2514 . . . 4 TopOn KQ KQ
32 eqid 2438 . . . . 5 KQ KQ
3332t1sncld 17392 . . . 4 KQ KQ KQ
3423, 31, 33syl2anc 644 . . 3 TopOn KQ KQ
35 cnclima 17334 . . 3 KQ KQ
3622, 34, 35syl2anc 644 . 2 TopOn KQ
3720, 36eqeltrrd 2513 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711  csn 3816  cuni 4017   cmpt 4268  ccnv 4879   crn 4881  cima 4883   wfn 5451  cfv 5456  (class class class)co 6083  TopOnctopon 16961  ccld 17082   ccn 17290  ct1 17373  KQckq 17727 This theorem is referenced by:  nrmr0reg  17783 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-qtop 13735  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-cn 17293  df-t1 17380  df-kq 17728
 Copyright terms: Public domain W3C validator