MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0sep Unicode version

Theorem r0sep 17695
Description: The separation property of an R0 space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
r0sep  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Distinct variable groups:    A, o    B, o    o, J    o, X

Proof of Theorem r0sep
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2381 . . . 4  |-  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )  =  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )
21isr0 17684 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
32biimpa 471 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
4 eleq1 2441 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  o  <->  A  e.  o ) )
54imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
65ralbidv 2663 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
74bibi1d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o ) ) )
87ralbidv 2663 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
96, 8imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
10 eleq1 2441 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  o  <->  B  e.  o ) )
1110imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1211ralbidv 2663 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1310bibi2d 310 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
B  e.  o ) ) )
1413ralbidv 2663 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
1512, 14imbi12d 312 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
169, 15rspc2v 2995 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
173, 16mpan9 456 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2643   {crab 2647    e. cmpt 4201   ` cfv 5388  TopOnctopon 16876   Frect1 17287  KQckq 17640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-op 3760  df-uni 3952  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-id 4433  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-map 6950  df-topgen 13588  df-qtop 13654  df-top 16880  df-topon 16883  df-cld 17000  df-cn 17207  df-t1 17294  df-kq 17641
  Copyright terms: Public domain W3C validator