MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1fin Unicode version

Theorem r1fin 7659
Description: The first  om levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1fin  |-  ( A  e.  om  ->  ( R1 `  A )  e. 
Fin )

Proof of Theorem r1fin
Dummy variables  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5691 . . 3  |-  ( n  =  (/)  ->  ( R1
`  n )  =  ( R1 `  (/) ) )
21eleq1d 2474 . 2  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( R1 `  n )  e.  Fin  <->  ( R1 `  (/) )  e.  Fin ) )
3 fveq2 5691 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  m
) )
43eleq1d 2474 . 2  |-  ( n  =  m  ->  (
( R1 `  n
)  e.  Fin  <->  ( R1 `  m )  e.  Fin ) )
5 fveq2 5691 . . 3  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( R1 `  n
)  =  ( R1
`  suc  m )
)
65eleq1d 2474 . 2  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( ( R1 `  n )  e.  Fin  <->  ( R1 `  suc  m )  e.  Fin ) )
7 fveq2 5691 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  A
) )
87eleq1d 2474 . 2  |-  ( n  =  A  ->  (
( R1 `  n
)  e.  Fin  <->  ( R1 `  A )  e.  Fin ) )
9 r10 7654 . . 3  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
10 0fin 7299 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2478 . 2  |-  ( R1
`  (/) )  e.  Fin
12 r1funlim 7652 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1312simpri 449 . . . . . . . 8  |-  Lim  dom  R1
14 limomss 4813 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  om  C_  dom  R1
1615sseli 3308 . . . . . 6  |-  ( m  e.  om  ->  m  e.  dom  R1 )
17 r1sucg 7655 . . . . . 6  |-  ( m  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  m
)  =  ~P ( R1 `  m ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ( R1 `  suc  m )  =  ~P ( R1
`  m ) )
1918eleq1d 2474 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  suc  m )  e.  Fin  <->  ~P ( R1 `  m )  e.  Fin ) )
20 pwfi 7364 . . . 4  |-  ( ( R1 `  m )  e.  Fin  <->  ~P ( R1 `  m )  e. 
Fin )
2119, 20syl6rbbr 256 . . 3  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  m
)  e.  Fin  <->  ( R1 ` 
suc  m )  e. 
Fin ) )
2221biimpd 199 . 2  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  m
)  e.  Fin  ->  ( R1 `  suc  m
)  e.  Fin )
)
232, 4, 6, 8, 11, 22finds 4834 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( R1 `  A )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ~Pcpw 3763   Lim wlim 4546   suc csuc 4547   omcom 4808   dom cdm 4841   Fun wfun 5411   ` cfv 5417   Fincfn 7072   R1cr1 7648
This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  8080  ackbij2  8083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-r1 7650
  Copyright terms: Public domain W3C validator