MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1fin Unicode version

Theorem r1fin 7445
Description: The first  om levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1fin  |-  ( A  e.  om  ->  ( R1 `  A )  e. 
Fin )

Proof of Theorem r1fin
Dummy variables  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . 3  |-  ( n  =  (/)  ->  ( R1
`  n )  =  ( R1 `  (/) ) )
21eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( R1 `  n )  e.  Fin  <->  ( R1 `  (/) )  e.  Fin ) )
3 fveq2 5525 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  m
) )
43eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  m  ->  (
( R1 `  n
)  e.  Fin  <->  ( R1 `  m )  e.  Fin ) )
5 fveq2 5525 . . 3  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( R1 `  n
)  =  ( R1
`  suc  m )
)
65eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( ( R1 `  n )  e.  Fin  <->  ( R1 `  suc  m )  e.  Fin ) )
7 fveq2 5525 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  A
) )
87eleq1d 2349 . 2  |-  ( n  =  A  ->  (
( R1 `  n
)  e.  Fin  <->  ( R1 `  A )  e.  Fin ) )
9 r10 7440 . . 3  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
10 0fin 7087 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2353 . 2  |-  ( R1
`  (/) )  e.  Fin
12 r1funlim 7438 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1312simpri 448 . . . . . . . 8  |-  Lim  dom  R1
14 limomss 4661 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  om  C_  dom  R1
1615sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( m  e.  om  ->  m  e.  dom  R1 )
17 r1sucg 7441 . . . . . 6  |-  ( m  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  m
)  =  ~P ( R1 `  m ) )
1816, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ( R1 `  suc  m )  =  ~P ( R1
`  m ) )
1918eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  suc  m )  e.  Fin  <->  ~P ( R1 `  m )  e.  Fin ) )
20 pwfi 7151 . . . 4  |-  ( ( R1 `  m )  e.  Fin  <->  ~P ( R1 `  m )  e. 
Fin )
2119, 20syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  m
)  e.  Fin  <->  ( R1 ` 
suc  m )  e. 
Fin ) )
2221biimpd 198 . 2  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  m
)  e.  Fin  ->  ( R1 `  suc  m
)  e.  Fin )
)
232, 4, 6, 8, 11, 22finds 4682 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( R1 `  A )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   ` cfv 5255   Fincfn 6863   R1cr1 7434
This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  7866  ackbij2  7869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-r1 7436
  Copyright terms: Public domain W3C validator