MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1fin Structured version   Unicode version

Theorem r1fin 7702
Description: The first  om levels of the cumulative hierarchy are all finite. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1fin  |-  ( A  e.  om  ->  ( R1 `  A )  e. 
Fin )

Proof of Theorem r1fin
Dummy variables  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5731 . . 3  |-  ( n  =  (/)  ->  ( R1
`  n )  =  ( R1 `  (/) ) )
21eleq1d 2504 . 2  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( R1 `  n )  e.  Fin  <->  ( R1 `  (/) )  e.  Fin ) )
3 fveq2 5731 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  m
) )
43eleq1d 2504 . 2  |-  ( n  =  m  ->  (
( R1 `  n
)  e.  Fin  <->  ( R1 `  m )  e.  Fin ) )
5 fveq2 5731 . . 3  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( R1 `  n
)  =  ( R1
`  suc  m )
)
65eleq1d 2504 . 2  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( ( R1 `  n )  e.  Fin  <->  ( R1 `  suc  m )  e.  Fin ) )
7 fveq2 5731 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  A
) )
87eleq1d 2504 . 2  |-  ( n  =  A  ->  (
( R1 `  n
)  e.  Fin  <->  ( R1 `  A )  e.  Fin ) )
9 r10 7697 . . 3  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
10 0fin 7339 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
119, 10eqeltri 2508 . 2  |-  ( R1
`  (/) )  e.  Fin
12 r1funlim 7695 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1312simpri 450 . . . . . . . 8  |-  Lim  dom  R1
14 limomss 4853 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  om  C_  dom  R1
1615sseli 3346 . . . . . 6  |-  ( m  e.  om  ->  m  e.  dom  R1 )
17 r1sucg 7698 . . . . . 6  |-  ( m  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  m
)  =  ~P ( R1 `  m ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ( R1 `  suc  m )  =  ~P ( R1
`  m ) )
1918eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  suc  m )  e.  Fin  <->  ~P ( R1 `  m )  e.  Fin ) )
20 pwfi 7405 . . . 4  |-  ( ( R1 `  m )  e.  Fin  <->  ~P ( R1 `  m )  e. 
Fin )
2119, 20syl6rbbr 257 . . 3  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  m
)  e.  Fin  <->  ( R1 ` 
suc  m )  e. 
Fin ) )
2221biimpd 200 . 2  |-  ( m  e.  om  ->  (
( R1 `  m
)  e.  Fin  ->  ( R1 `  suc  m
)  e.  Fin )
)
232, 4, 6, 8, 11, 22finds 4874 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( R1 `  A )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   Lim wlim 4585   suc csuc 4586   omcom 4848   dom cdm 4881   Fun wfun 5451   ` cfv 5457   Fincfn 7112   R1cr1 7691
This theorem is referenced by:  ackbij2lem2  8125  ackbij2  8128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-r1 7693
  Copyright terms: Public domain W3C validator