MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1funlim Unicode version

Theorem r1funlim 7454
Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 7455 avoids ax-rep 4147.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1funlim  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )

Proof of Theorem r1funlim
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6445 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
2 df-r1 7452 . . . 4  |-  R1  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
32funeqi 5291 . . 3  |-  ( Fun 
R1 
<->  Fun  rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) )
41, 3mpbir 200 . 2  |-  Fun  R1
5 rdgdmlim 6446 . . 3  |-  Lim  dom  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
62dmeqi 4896 . . . 4  |-  dom  R1  =  dom  rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) )
7 limeq 4420 . . . 4  |-  ( dom 
R1  =  dom  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )  ->  ( Lim 
dom  R1  <->  Lim  dom  rec (
( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  ( Lim 
dom  R1  <->  Lim  dom  rec (
( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) )
95, 8mpbir 200 . 2  |-  Lim  dom  R1
104, 9pm3.2i 441 1  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638    e. cmpt 4093   Lim wlim 4409   dom cdm 4705   Fun wfun 5265   reccrdg 6438   R1cr1 7450
This theorem is referenced by:  r1limg  7459  r1fin  7461  r1tr  7464  r1ordg  7466  r1ord3g  7467  r1pwss  7472  r1val1  7474  rankwflemb  7481  r1elwf  7484  rankr1ai  7486  rankdmr1  7489  rankr1ag  7490  rankr1bg  7491  r1elssi  7493  pwwf  7495  unwf  7498  rankr1clem  7508  rankr1c  7509  rankval3b  7514  rankonidlem  7516  onssr1  7519  rankeq0b  7548  ackbij2  7885  wunom  8358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-r1 7452
  Copyright terms: Public domain W3C validator