MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1funlim Structured version   Unicode version

Theorem r1funlim 7684
Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 7685 avoids ax-rep 4312.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1funlim  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )

Proof of Theorem r1funlim
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6666 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
2 df-r1 7682 . . . 4  |-  R1  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
32funeqi 5466 . . 3  |-  ( Fun 
R1 
<->  Fun  rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) )
41, 3mpbir 201 . 2  |-  Fun  R1
5 rdgdmlim 6667 . . 3  |-  Lim  dom  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
62dmeqi 5063 . . . 4  |-  dom  R1  =  dom  rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) )
7 limeq 4585 . . . 4  |-  ( dom 
R1  =  dom  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )  ->  ( Lim 
dom  R1  <->  Lim  dom  rec (
( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  ( Lim 
dom  R1  <->  Lim  dom  rec (
( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) )
95, 8mpbir 201 . 2  |-  Lim  dom  R1
104, 9pm3.2i 442 1  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791    e. cmpt 4258   Lim wlim 4574   dom cdm 4870   Fun wfun 5440   reccrdg 6659   R1cr1 7680
This theorem is referenced by:  r1limg  7689  r1fin  7691  r1tr  7694  r1ordg  7696  r1ord3g  7697  r1pwss  7702  r1val1  7704  rankwflemb  7711  r1elwf  7714  rankr1ai  7716  rankdmr1  7719  rankr1ag  7720  rankr1bg  7721  r1elssi  7723  pwwf  7725  unwf  7728  rankr1clem  7738  rankr1c  7739  rankval3b  7744  rankonidlem  7746  onssr1  7749  rankeq0b  7778  ackbij2  8115  wunom  8587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682
  Copyright terms: Public domain W3C validator