MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1funlim Unicode version

Theorem r1funlim 7438
Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 7439 avoids ax-rep 4131.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1funlim  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )

Proof of Theorem r1funlim
StepHypRef Expression
1 rdgfun 6429 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
2 df-r1 7436 . . . 4  |-  R1  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
32funeqi 5275 . . 3  |-  ( Fun 
R1 
<->  Fun  rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) )
41, 3mpbir 200 . 2  |-  Fun  R1
5 rdgdmlim 6430 . . 3  |-  Lim  dom  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
62dmeqi 4880 . . . 4  |-  dom  R1  =  dom  rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) )
7 limeq 4404 . . . 4  |-  ( dom 
R1  =  dom  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )  ->  ( Lim 
dom  R1  <->  Lim  dom  rec (
( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . 3  |-  ( Lim 
dom  R1  <->  Lim  dom  rec (
( x  e.  _V  |->  ~P x ) ,  (/) ) )
95, 8mpbir 200 . 2  |-  Lim  dom  R1
104, 9pm3.2i 441 1  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077   Lim wlim 4393   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   reccrdg 6422   R1cr1 7434
This theorem is referenced by:  r1limg  7443  r1fin  7445  r1tr  7448  r1ordg  7450  r1ord3g  7451  r1pwss  7456  r1val1  7458  rankwflemb  7465  r1elwf  7468  rankr1ai  7470  rankdmr1  7473  rankr1ag  7474  rankr1bg  7475  r1elssi  7477  pwwf  7479  unwf  7482  rankr1clem  7492  rankr1c  7493  rankval3b  7498  rankonidlem  7500  onssr1  7503  rankeq0b  7532  ackbij2  7869  wunom  8342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436
  Copyright terms: Public domain W3C validator