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Theorem r1limwun 8358
Description: Each limit stage in the cumulative hierarchy is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
r1limwun  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  e. WUni
)

Proof of Theorem r1limwun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1tr 7448 . . 3  |-  Tr  ( R1 `  A )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  Tr  ( R1 `  A ) )
3 limelon 4455 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
4 r1fnon 7439 . . . . . . 7  |-  R1  Fn  On
5 fndm 5343 . . . . . . 7  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  R1  =  On
73, 6syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  dom  R1 )
8 onssr1 7503 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A 
C_  ( R1 `  A ) )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  C_  ( R1 `  A
) )
10 0ellim 4454 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
1110adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (/)  e.  A
)
129, 11sseldd 3181 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (/)  e.  ( R1 `  A ) )
13 ne0i 3461 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( R1 `  A
)  ->  ( R1 `  A )  =/=  (/) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  =/=  (/) )
15 rankuni 7535 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
16 rankon 7467 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  x )  e.  On
17 eloni 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  x ) )
18 orduniss 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  ( rank `  x
)  ->  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )
)
1916, 17, 18mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )
2019a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. ( rank `  x
)  C_  ( rank `  x ) )
21 rankr1ai 7470 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e.  A )
2221adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  A )
23 onuni 4584 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  U. ( rank `  x )  e.  On )
2416, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  x )  e.  On
253adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  On )
26 ontr2 4439 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( rank `  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )  /\  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A ) )
2724, 25, 26sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( ( U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )  /\  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A ) )
2820, 22, 27mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A )
2915, 28syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  U. x )  e.  A )
30 r1elwf 7468 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
3130adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
32 uniwf 7491 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  U. x  e.  U. ( R1 " On ) )
3331, 32sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. x  e.  U. ( R1 " On ) )
347adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
35 rankr1ag 7474 . . . . . 6  |-  ( ( U. x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( U. x  e.  ( R1 `  A )  <->  ( rank ` 
U. x )  e.  A ) )
3633, 34, 35syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( U. x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  U. x )  e.  A
) )
3729, 36mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. x  e.  ( R1 `  A ) )
38 r1pwcl 7519 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
3938adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
4039biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
4130ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
42 r1elwf 7468 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( R1 `  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
4342adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
44 rankprb 7523 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  {
x ,  y } )  =  suc  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) ) )
4541, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  { x ,  y } )  =  suc  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y ) ) )
46 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  Lim  A )
47 limord 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  Ord  A )
4922adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  x )  e.  A )
50 rankr1ai 7470 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( R1 `  A )  ->  ( rank `  y )  e.  A )
5150adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  y )  e.  A )
52 ordunel 4618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  ( rank `  x )  e.  A  /\  ( rank `  y )  e.  A
)  ->  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A
)
5348, 49, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A
)
54 limsuc 4640 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A  <->  suc  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A ) )
5546, 54syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  (
( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A  <->  suc  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y ) )  e.  A ) )
5653, 55mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  suc  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A )
5745, 56eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  { x ,  y } )  e.  A )
58 prwf 7483 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On ) )
5941, 43, 58syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On ) )
6034adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  A  e.  dom  R1 )
61 rankr1ag 7474 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( { x ,  y }  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  { x ,  y } )  e.  A ) )
6259, 60, 61syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( { x ,  y }  e.  ( R1
`  A )  <->  ( rank `  { x ,  y } )  e.  A
) )
6357, 62mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) )
6463ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A. y  e.  ( R1 `  A ) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) )
6537, 40, 643jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) )
6665ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) )
67 fvex 5539 . . 3  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
68 iswun 8326 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e. WUni  <->  ( Tr  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) ) ) )
6967, 68ax-mp 8 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e. WUni 
<->  ( Tr  ( R1
`  A )  /\  ( R1 `  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
702, 14, 66, 69syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  e. WUni
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {cpr 3641   U.cuni 3827   Tr wtr 4113   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   R1cr1 7434   rankcrnk 7435  WUnicwun 8322
This theorem is referenced by:  r1wunlim  8359  wunex3  8363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437  df-wun 8324
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