MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pcl Unicode version

Theorem r1pcl 19949
Description: Closure of remainder following division by a unitic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pval.e  |-  E  =  (rem1p `  R )
r1pval.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
r1pval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
r1pcl.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
Assertion
Ref Expression
r1pcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  e.  B )

Proof of Theorem r1pcl
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  e.  B )
2 r1pval.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 r1pval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 r1pcl.c . . . . 5  |-  C  =  (Unic1p `  R )
52, 3, 4uc1pcl 19935 . . . 4  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  B )
653ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  e.  B )
7 r1pval.e . . . 4  |-  E  =  (rem1p `  R )
8 eqid 2389 . . . 4  |-  (quot1p `  R
)  =  (quot1p `  R
)
9 eqid 2389 . . . 4  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
10 eqid 2389 . . . 4  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
117, 2, 3, 8, 9, 10r1pval 19948 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
121, 6, 11syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P ) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) ) )
132ply1rng 16571 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
14133ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Ring )
15 rnggrp 15598 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Grp )
178, 2, 3, 4q1pcl 19947 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B )
183, 9rngcl 15606 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( F (quot1p `  R ) G )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )
1914, 17, 6, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F (quot1p `  R
) G ) ( .r `  P ) G )  e.  B
)
203, 10grpsubcl 14798 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P
) G )  e.  B )  ->  ( F ( -g `  P
) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  e.  B )
2116, 1, 19, 20syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F ( -g `  P
) ( ( F (quot1p `  R ) G ) ( .r `  P ) G ) )  e.  B )
2212, 21eqeltrd 2463 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   .rcmulr 13459   Grpcgrp 14614   -gcsg 14617   Ringcrg 15589  Poly1cpl1 16500  Unic1pcuc1p 19918  quot1pcq1p 19919  rem1pcr1p 19920
This theorem is referenced by:  ply1rem  19955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-ofr 6247  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-ghm 14933  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-cring 15593  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-subrg 15795  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-rlreg 16272  df-psr 16346  df-mvr 16347  df-mpl 16348  df-opsr 16354  df-psr1 16505  df-vr1 16506  df-ply1 16507  df-coe1 16510  df-cnfld 16629  df-mdeg 19847  df-deg1 19848  df-uc1p 19923  df-q1p 19924  df-r1p 19925
  Copyright terms: Public domain W3C validator