MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pid Structured version   Unicode version

Theorem r1pid 20072
Description: Express the original polynomial  F as  F  =  ( q  x.  G
)  +  r using the quotient and remainder functions for  q and  r. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pid.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
r1pid.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
r1pid.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
r1pid.q  |-  Q  =  (quot1p `  R )
r1pid.e  |-  E  =  (rem1p `  R )
r1pid.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
r1pid.m  |-  .+  =  ( +g  `  P )
Assertion
Ref Expression
r1pid  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  =  ( ( ( F Q G ) 
.x.  G )  .+  ( F E G ) ) )

Proof of Theorem r1pid
StepHypRef Expression
1 r1pid.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 r1pid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 r1pid.c . . . . . 6  |-  C  =  (Unic1p `  R )
41, 2, 3uc1pcl 20056 . . . . 5  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  B )
5 r1pid.e . . . . . 6  |-  E  =  (rem1p `  R )
6 r1pid.q . . . . . 6  |-  Q  =  (quot1p `  R )
7 r1pid.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  P )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
95, 1, 2, 6, 7, 8r1pval 20069 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) ) )
104, 9sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) ) )
11103adant1 975 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P ) ( ( F Q G ) 
.x.  G ) ) )
1211oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( ( F Q G )  .x.  G
)  .+  ( F E G ) )  =  ( ( ( F Q G )  .x.  G )  .+  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) ) ) )
131ply1rng 16632 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
14133ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Ring )
15 rngabl 15683 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Abel )
176, 1, 2, 3q1pcl 20068 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F Q G )  e.  B )
1843ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  e.  B )
192, 7rngcl 15667 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( F Q G )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F Q G )  .x.  G )  e.  B )
2014, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F Q G )  .x.  G )  e.  B )
21 rnggrp 15659 . . . . 5  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
2214, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Grp )
23 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  e.  B )
242, 8grpsubcl 14859 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F Q G )  .x.  G
)  e.  B )  ->  ( F (
-g `  P )
( ( F Q G )  .x.  G
) )  e.  B
)
2522, 23, 20, 24syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) )  e.  B )
26 r1pid.m . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  P )
272, 26ablcom 15419 . . 3  |-  ( ( P  e.  Abel  /\  (
( F Q G )  .x.  G )  e.  B  /\  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) )  e.  B )  ->  (
( ( F Q G )  .x.  G
)  .+  ( F
( -g `  P ) ( ( F Q G )  .x.  G
) ) )  =  ( ( F (
-g `  P )
( ( F Q G )  .x.  G
) )  .+  (
( F Q G )  .x.  G ) ) )
2816, 20, 25, 27syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( ( F Q G )  .x.  G
)  .+  ( F
( -g `  P ) ( ( F Q G )  .x.  G
) ) )  =  ( ( F (
-g `  P )
( ( F Q G )  .x.  G
) )  .+  (
( F Q G )  .x.  G ) ) )
292, 26, 8grpnpcan 14870 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F Q G )  .x.  G
)  e.  B )  ->  ( ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) )  .+  ( ( F Q G )  .x.  G
) )  =  F )
3022, 23, 20, 29syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F Q G ) 
.x.  G ) ) 
.+  ( ( F Q G )  .x.  G ) )  =  F )
3112, 28, 303eqtrrd 2472 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  =  ( ( ( F Q G ) 
.x.  G )  .+  ( F E G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   .rcmulr 13520   Grpcgrp 14675   -gcsg 14678   Abelcabel 15403   Ringcrg 15650  Poly1cpl1 16561  Unic1pcuc1p 20039  quot1pcq1p 20040  rem1pcr1p 20041
This theorem is referenced by:  ply1rem  20076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-rlreg 16333  df-psr 16407  df-mvr 16408  df-mpl 16409  df-opsr 16415  df-psr1 16566  df-vr1 16567  df-ply1 16568  df-coe1 16571  df-cnfld 16694  df-mdeg 19968  df-deg1 19969  df-uc1p 20044  df-q1p 20045  df-r1p 20046
  Copyright terms: Public domain W3C validator