Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pw Structured version   Unicode version

Theorem r1pw 7771
 Description: A stronger property of than rankpw 7769. The latter merely proves that of the successor is a power set, but here we prove that if is in the cumulative hierarchy, then is in the cumulative hierarchy of the successor. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pw

Proof of Theorem r1pw
StepHypRef Expression
1 rankpwi 7749 . . . . . 6
21eleq1d 2502 . . . . 5
3 eloni 4591 . . . . . . 7
4 ordsucelsuc 4802 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
65bicomd 193 . . . . 5
72, 6sylan9bb 681 . . . 4
8 pwwf 7733 . . . . . 6
98biimpi 187 . . . . 5
10 suceloni 4793 . . . . . 6
11 r1fnon 7693 . . . . . . 7
12 fndm 5544 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 8 . . . . . 6
1410, 13syl6eleqr 2527 . . . . 5
15 rankr1ag 7728 . . . . 5
169, 14, 15syl2an 464 . . . 4
1713eleq2i 2500 . . . . 5
18 rankr1ag 7728 . . . . 5
1917, 18sylan2br 463 . . . 4
207, 16, 193bitr4rd 278 . . 3
2120ex 424 . 2
22 r1elwf 7722 . . . 4
23 r1elwf 7722 . . . . . 6
24 r1elssi 7731 . . . . . 6
2523, 24syl 16 . . . . 5
26 ssid 3367 . . . . . 6
27 elex 2964 . . . . . . . 8
28 pwexb 4753 . . . . . . . 8
2927, 28sylibr 204 . . . . . . 7
30 elpwg 3806 . . . . . . 7
3129, 30syl 16 . . . . . 6
3226, 31mpbiri 225 . . . . 5
3325, 32sseldd 3349 . . . 4
3422, 33pm5.21ni 342 . . 3
3534a1d 23 . 2
3621, 35pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015   word 4580  con0 4581   csuc 4583   cdm 4878  cima 4881   wfn 5449  cfv 5454  cr1 7688  crnk 7689 This theorem is referenced by:  inatsk  8653 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-r1 7690  df-rank 7691
 Copyright terms: Public domain W3C validator