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Theorem r1pwss 7456
Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pwss  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) )

Proof of Theorem r1pwss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 7438 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
21simpri 448 . . . . . 6  |-  Lim  dom  R1
3 limord 4451 . . . . . 6  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  Ord  dom  R1
5 ordsson 4581 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  dom  R1  C_  On )
64, 5ax-mp 8 . . . 4  |-  dom  R1  C_  On
7 elfvdm 5554 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  B  e.  dom  R1 )
86, 7sseldi 3178 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  B  e.  On )
9 onzsl 4637 . . 3  |-  ( B  e.  On  <->  ( B  =  (/)  \/  E. x  e.  On  B  =  suc  x  \/  ( B  e.  _V  /\  Lim  B
) ) )
108, 9sylib 188 . 2  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ( B  =  (/)  \/  E. x  e.  On  B  =  suc  x  \/  ( B  e.  _V  /\  Lim  B ) ) )
11 noel 3459 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
12 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( R1
`  B )  =  ( R1 `  (/) ) )
13 r10 7440 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( R1
`  B )  =  (/) )
1514eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  e.  ( R1 `  B )  <->  A  e.  (/) ) )
1615biimpcd 215 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ( B  =  (/)  ->  A  e.  (/) ) )
1711, 16mtoi 169 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  -.  B  =  (/) )
1817pm2.21d 98 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ( B  =  (/)  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) ) )
19 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  A  e.  ( R1 `  B ) )
20 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  B  =  suc  x )
2120fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  ( R1 `  B )  =  ( R1 `  suc  x
) )
227adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  B  e.  dom  R1 )
2320, 22eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  suc  x  e.  dom  R1 )
24 limsuc 4640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( x  e.  dom  R1  <->  suc  x  e. 
dom  R1 ) )
252, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  R1  <->  suc  x  e. 
dom  R1 )
2623, 25sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  x  e.  dom  R1 )
27 r1sucg 7441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  x
)  =  ~P ( R1 `  x ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  ( R1 `  suc  x )  =  ~P ( R1 `  x ) )
2921, 28eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  ( R1 `  B )  =  ~P ( R1 `  x ) )
3019, 29eleqtrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  A  e.  ~P ( R1 `  x ) )
31 elpwi 3633 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  x )  ->  A  C_  ( R1 `  x ) )
32 sspwb 4223 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ( R1 `  x )  <->  ~P A  C_ 
~P ( R1 `  x ) )
3331, 32sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  x )  ->  ~P A  C_  ~P ( R1 `  x ) )
3430, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  ~P A  C_  ~P ( R1 `  x
) )
3534, 29sseqtr4d 3215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  B  =  suc  x )  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) )
3635ex 423 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ( B  =  suc  x  ->  ~P A  C_  ( R1
`  B ) ) )
3736rexlimdvw 2670 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ( E. x  e.  On  B  =  suc  x  ->  ~P A  C_  ( R1
`  B ) ) )
38 r1tr 7448 . . . . . 6  |-  Tr  ( R1 `  B )
39 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  A  e.  ( R1 `  B
) )
40 r1limg 7443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\ 
Lim  B )  -> 
( R1 `  B
)  =  U_ x  e.  B  ( R1 `  x ) )
417, 40sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  ( R1 `  B )  = 
U_ x  e.  B  ( R1 `  x ) )
4239, 41eleqtrd 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  A  e.  U_ x  e.  B  ( R1 `  x ) )
43 eliun 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  U_ x  e.  B  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  B  A  e.  ( R1 `  x ) )
4442, 43sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  E. x  e.  B  A  e.  ( R1 `  x ) )
45 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  x  e.  B )
46 limsuc 4640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
B  ->  ( x  e.  B  <->  suc  x  e.  B
) )
4746ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  -> 
( x  e.  B  <->  suc  x  e.  B ) )
4845, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  suc  x  e.  B )
49 limsuc 4640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
B  ->  ( suc  x  e.  B  <->  suc  suc  x  e.  B ) )
5049ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  -> 
( suc  x  e.  B 
<->  suc  suc  x  e.  B ) )
5148, 50mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  suc  suc  x  e.  B
)
52 r1tr 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Tr  ( R1 `  x )
53 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  A  e.  ( R1 `  x ) )
54 trss 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Tr  ( R1 `  x
)  ->  ( A  e.  ( R1 `  x
)  ->  A  C_  ( R1 `  x ) ) )
5552, 53, 54mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  A  C_  ( R1 `  x ) )
5655, 32sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  ~P A  C_  ~P ( R1 `  x ) )
577ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  B  e.  dom  R1 )
58 ordtr1 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 ) )
594, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e.  dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 )
6045, 57, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
6160, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  -> 
( R1 `  suc  x )  =  ~P ( R1 `  x ) )
6256, 61sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  ~P A  C_  ( R1
`  suc  x )
)
63 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R1
`  suc  x )  e.  _V
6463elpw2 4175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P A  e.  ~P ( R1 `  suc  x )  <->  ~P A  C_  ( R1
`  suc  x )
)
6562, 64sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  ~P A  e.  ~P ( R1 `  suc  x
) )
6660, 25sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  suc  x  e.  dom  R1 )
67 r1sucg 7441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  suc  x )  =  ~P ( R1 `  suc  x
) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  -> 
( R1 `  suc  suc  x )  =  ~P ( R1 `  suc  x
) )
6965, 68eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  ~P A  e.  ( R1 `  suc  suc  x
) )
70 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  suc  x  ->  ( R1 `  y
)  =  ( R1
`  suc  suc  x ) )
7170eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  suc  x  ->  ( ~P A  e.  ( R1 `  y
)  <->  ~P A  e.  ( R1 `  suc  suc  x ) ) )
7271rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( suc  suc  x  e.  B  /\  ~P A  e.  ( R1 `  suc  suc  x ) )  ->  E. y  e.  B  ~P A  e.  ( R1 `  y ) )
7351, 69, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  ( x  e.  B  /\  A  e.  ( R1 `  x
) ) )  ->  E. y  e.  B  ~P A  e.  ( R1 `  y ) )
7473expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( R1 `  B )  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A  e.  ( R1 `  x
)  ->  E. y  e.  B  ~P A  e.  ( R1 `  y
) ) )
7574rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  ( E. x  e.  B  A  e.  ( R1 `  x )  ->  E. y  e.  B  ~P A  e.  ( R1 `  y
) ) )
7644, 75mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  E. y  e.  B  ~P A  e.  ( R1 `  y
) )
77 eliun 3909 . . . . . . . 8  |-  ( ~P A  e.  U_ y  e.  B  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  B  ~P A  e.  ( R1 `  y
) )
7876, 77sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  ~P A  e.  U_ y  e.  B  ( R1 `  y ) )
79 r1limg 7443 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\ 
Lim  B )  -> 
( R1 `  B
)  =  U_ y  e.  B  ( R1 `  y ) )
807, 79sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  ( R1 `  B )  = 
U_ y  e.  B  ( R1 `  y ) )
8178, 80eleqtrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  ~P A  e.  ( R1 `  B ) )
82 trss 4122 . . . . . 6  |-  ( Tr  ( R1 `  B
)  ->  ( ~P A  e.  ( R1 `  B )  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) ) )
8338, 81, 82mpsyl 59 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  Lim  B )  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) )
8483ex 423 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ( Lim  B  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B
) ) )
8584adantld 453 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  (
( B  e.  _V  /\ 
Lim  B )  ->  ~P A  C_  ( R1
`  B ) ) )
8618, 37, 853jaod 1246 . 2  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  (
( B  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  B  =  suc  x  \/  ( B  e.  _V  /\ 
Lim  B ) )  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) ) )
8710, 86mpd 14 1  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905   Tr wtr 4113   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   dom cdm 4689   Fun wfun 5249   ` cfv 5255   R1cr1 7434
This theorem is referenced by:  r1sscl  7457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436
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