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Theorem r1sdom 7462
Description: Each stage in the cumulative hierarchy is strictly larger than the last. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1sdom  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  A ) )

Proof of Theorem r1sdom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2357 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  (/) ) )
2 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
32breq2d 4051 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  x
)  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  (/) ) ) )
41, 3imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  x  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) )  <->  ( B  e.  (/)  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  (/) ) ) ) )
5 eleq2 2357 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  y ) )
6 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
76breq2d 4051 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x )  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) ) )
85, 7imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  x  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) )  <->  ( B  e.  y  ->  ( R1
`  B )  ~< 
( R1 `  y
) ) ) )
9 eleq2 2357 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  e.  x  <->  B  e.  suc  y ) )
10 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
1110breq2d 4051 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x )  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
129, 11imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  e.  x  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) )  <-> 
( B  e.  suc  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
13 eleq2 2357 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  A ) )
14 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  A
) )
1514breq2d 4051 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x )  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  A ) ) )
1613, 15imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  x  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) )  <->  ( B  e.  A  ->  ( R1
`  B )  ~< 
( R1 `  A
) ) ) )
17 noel 3472 . . . 4  |-  -.  B  e.  (/)
1817pm2.21i 123 . . 3  |-  ( B  e.  (/)  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  (/) ) )
19 elsuci 4474 . . . . 5  |-  ( B  e.  suc  y  -> 
( B  e.  y  \/  B  =  y ) )
20 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
2120canth2 7030 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1
`  y )  ~<  ~P ( R1 `  y
)
22 r1suc 7458 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
2321, 22syl5breqr 4075 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  y )  ~< 
( R1 `  suc  y ) )
24 sdomtr 7015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  /\  ( R1 `  y )  ~< 
( R1 `  suc  y ) )  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  suc  y ) )
2524expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  y ) 
~<  ( R1 `  suc  y )  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  suc  y ) ) )
2623, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  suc  y ) ) )
2726com12 27 . . . . . . 7  |-  ( ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
2827imim2i 13 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  e.  y  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
29 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  y  ->  ( R1 `  B )  =  ( R1 `  y
) )
3029breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  y  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  suc  y )  <->  ( R1 `  y )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
3123, 30syl5ibr 212 . . . . . . 7  |-  ( B  =  y  ->  (
y  e.  On  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  =  y  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
3328, 32jaod 369 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( ( B  e.  y  \/  B  =  y )  ->  (
y  e.  On  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
3419, 33syl5 28 . . . 4  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  e.  suc  y  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
3534com3r 73 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  ->  ( B  e. 
suc  y  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  suc  y ) ) ) )
36 limuni 4468 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U. x )
3736eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  U. x
) )
38 eluni2 3847 . . . . . 6  |-  ( B  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  B  e.  y )
3937, 38syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  <->  E. y  e.  x  B  e.  y )
)
40 r19.29 2696 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  E. y  e.  x  B  e.  y )  ->  E. y  e.  x  ( ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y ) )
41 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1
`  x )  e. 
_V
42 ssiun2 3961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  x  ->  ( R1 `  y )  C_  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
43 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
44 r1lim 7460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
4543, 44mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
4645sseq2d 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( ( R1 `  y )  C_  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) ) )
4742, 46syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( R1
`  y )  C_  ( R1 `  x ) ) )
48 ssdomg 6923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  x )  e.  _V  ->  (
( R1 `  y
)  C_  ( R1 `  x )  ->  ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x ) ) )
4941, 47, 48ee02 1367 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( R1
`  y )  ~<_  ( R1 `  x ) ) )
50 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) ) )
5150imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )
52 sdomdomtr 7010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  /\  ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x ) )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) )
5352expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x
)  ->  ( ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  y
)  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5451, 53syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x
)  ->  ( (
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5549, 54syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) ) )
5655rexlimdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( E. y  e.  x  (
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5740, 56syl5 28 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  E. y  e.  x  B  e.  y )  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5857exp3acom23 1362 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( E. y  e.  x  B  e.  y  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
) )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  x
) ) ) )
5939, 58sylbid 206 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
) )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  x
) ) ) )
6059com23 72 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
) )  ->  ( B  e.  x  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  x
) ) ) )
614, 8, 12, 16, 18, 35, 60tfinds 4666 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  A
) ) )
6261imp 418 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   ` cfv 5271    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   R1cr1 7450
This theorem is referenced by:  r111  7463  smobeth  8224  r1tskina  8420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-r1 7452
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