Theorem r1suc 4652

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76.

Assertion

Ref	Expression
r1suc	|- (A e. On -> (R1` suc A) = P~(R1` A))

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. . 3 |- (R1` A) e. V
2	1	pwex 2745	. 2 |- P~(R1` A) e. V
3		ax-17 971	. . 3 |- (z e. (/) -> A.x z e. (/))
4		ax-17 971	. . 3 |- (z e. A -> A.x z e. A)
5		ax-17 971	. . 3 |- (z e. P~(R1` A) -> A.x z e. P~(R1` A))
6		df-r1 4643	. . 3 |- R1 = rec({<.x, y>. | y = P~x}, (/))
7		pweq 2403	. . 3 |- (x = (R1` A) -> P~x = P~(R1` A))
8	3, 4, 5, 6, 7	rdgsucopab 3946	. 2 |- ((A e. On /\ P~(R1` A) e. V) -> (R1` suc A) = P~(R1` A))
9	2, 8	mpan2 696	1 |- (A e. On -> (R1` suc A) = P~(R1` A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280  P~cpw 2401  Oncon0 2948  suc csuc 2950  ` cfv 3182  R1cr1 4641

This theorem is referenced by:  r1tr 4654  r1ord 4655  r1val1 4658  tz9.12lem3 4661  rankval2 4670  rankel 4680  rankval3 4681  rankpw 4684  r1rankid 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-r1 4643

Copyright terms: Public domain