Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1tr Structured version   Unicode version

Theorem r1tr 7694
 Description: The cumulative hierarchy of sets is transitive. Lemma 7T of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1tr

Proof of Theorem r1tr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 7684 . . . . . 6
21simpri 449 . . . . 5
3 limord 4632 . . . . 5
4 ordsson 4762 . . . . 5
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4
65sseli 3336 . . 3
7 fveq2 5720 . . . . . 6
8 r10 7686 . . . . . 6
97, 8syl6eq 2483 . . . . 5
10 treq 4300 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 fveq2 5720 . . . . 5
13 treq 4300 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
15 fveq2 5720 . . . . 5
16 treq 4300 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
18 fveq2 5720 . . . . 5
19 treq 4300 . . . . 5
2018, 19syl 16 . . . 4
21 tr0 4305 . . . 4
22 limsuc 4821 . . . . . . . 8
232, 22ax-mp 8 . . . . . . 7
24 simpr 448 . . . . . . . . 9
25 pwtr 4408 . . . . . . . . 9
2624, 25sylib 189 . . . . . . . 8
27 r1sucg 7687 . . . . . . . . 9
28 treq 4300 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8
3026, 29syl5ibrcom 214 . . . . . . 7
3123, 30syl5bir 210 . . . . . 6
32 ndmfv 5747 . . . . . . . 8
33 treq 4300 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
3521, 34mpbiri 225 . . . . . 6
3631, 35pm2.61d1 153 . . . . 5
3736ex 424 . . . 4
38 triun 4307 . . . . . . . 8
39 r1limg 7689 . . . . . . . . . 10
4039ancoms 440 . . . . . . . . 9
41 treq 4300 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8
4338, 42syl5ibr 213 . . . . . . 7
4443impancom 428 . . . . . 6
45 ndmfv 5747 . . . . . . . 8
4645, 10syl 16 . . . . . . 7
4721, 46mpbiri 225 . . . . . 6
4844, 47pm2.61d1 153 . . . . 5
4948ex 424 . . . 4
5011, 14, 17, 20, 21, 37, 49tfinds 4831 . . 3
516, 50syl 16 . 2
52 ndmfv 5747 . . . 4
53 treq 4300 . . . 4
5452, 53syl 16 . . 3
5521, 54mpbiri 225 . 2
5651, 55pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  ciun 4085   wtr 4294   word 4572  con0 4573   wlim 4574   csuc 4575   cdm 4870   wfun 5440  cfv 5446  cr1 7680 This theorem is referenced by:  r1tr2  7695  r1ordg  7696  r1ord3g  7697  r1ord2  7699  r1sssuc  7701  r1pwss  7702  r1val1  7704  rankwflemb  7711  r1elwf  7714  r1elssi  7723  uniwf  7737  tcrank  7800  ackbij2lem3  8113  r1limwun  8603  tskr1om2  8635 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682
 Copyright terms: Public domain W3C validator