Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1wunlim Structured version   Unicode version

Theorem r1wunlim 8617
 Description: The weak universes in the cumulative hierarchy are exactly the limit ordinals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
r1wunlim WUni

Proof of Theorem r1wunlim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . 7 WUni WUni
21wun0 8598 . . . . . 6 WUni
3 elfvdm 5760 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5 WUni
5 r1fnon 7696 . . . . . 6
6 fndm 5547 . . . . . 6
75, 6ax-mp 5 . . . . 5
84, 7syl6eleq 2528 . . . 4 WUni
9 eloni 4594 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3 WUni
11 n0i 3635 . . . . . 6
122, 11syl 16 . . . . 5 WUni
13 fveq2 5731 . . . . . 6
14 r10 7697 . . . . . 6
1513, 14syl6eq 2486 . . . . 5
1612, 15nsyl 116 . . . 4 WUni
17 suceloni 4796 . . . . . . . 8
188, 17syl 16 . . . . . . 7 WUni
19 sucidg 4662 . . . . . . . 8
208, 19syl 16 . . . . . . 7 WUni
21 r1ord 7709 . . . . . . 7
2218, 20, 21sylc 59 . . . . . 6 WUni
23 r1elwf 7725 . . . . . 6
24 wfelirr 7754 . . . . . 6
2522, 23, 243syl 19 . . . . 5 WUni
26 simprr 735 . . . . . . . . 9 WUni
2726fveq2d 5735 . . . . . . . 8 WUni
28 r1suc 7699 . . . . . . . . 9
2928ad2antrl 710 . . . . . . . 8 WUni
3027, 29eqtrd 2470 . . . . . . 7 WUni
31 simplr 733 . . . . . . . 8 WUni WUni
328adantr 453 . . . . . . . . 9 WUni
33 sucidg 4662 . . . . . . . . . . 11
3433ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10 WUni
3534, 26eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9 WUni
36 r1ord 7709 . . . . . . . . 9
3732, 35, 36sylc 59 . . . . . . . 8 WUni
3831, 37wunpw 8587 . . . . . . 7 WUni
3930, 38eqeltrd 2512 . . . . . 6 WUni
4039rexlimdvaa 2833 . . . . 5 WUni
4125, 40mtod 171 . . . 4 WUni
42 ioran 478 . . . 4
4316, 41, 42sylanbrc 647 . . 3 WUni
44 dflim3 4830 . . 3
4510, 43, 44sylanbrc 647 . 2 WUni
46 r1limwun 8616 . 2 WUni
4745, 46impbida 807 1 WUni
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  c0 3630  cpw 3801  cuni 4017   word 4583  con0 4584   wlim 4585   csuc 4586   cdm 4881  cima 4884   wfn 5452  cfv 5457  cr1 7691  WUnicwun 8580 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-reg 7563  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-r1 7693  df-rank 7694  df-wun 8582
 Copyright terms: Public domain W3C validator