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Theorem r2alf 2732
Description: Double restricted universal quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
r2alf.1  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
r2alf  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )
)
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem r2alf
StepHypRef Expression
1 df-ral 2702 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
2 r2alf.1 . . . . . 6  |-  F/_ y A
32nfcri 2565 . . . . 5  |-  F/ y  x  e.  A
4319.21 1814 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) ) )
5 impexp 434 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
) )
65albii 1575 . . . 4  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
) )
7 df-ral 2702 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) )
87imbi2i 304 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) ) )
94, 6, 83bitr4i 269 . . 3  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
109albii 1575 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
111, 10bitr4i 244 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558   A.wral 2697
This theorem is referenced by:  r2al  2734  ralcomf  2858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702
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