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Theorem r3al 2731
Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
r3al  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    y, A, z    z, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    A( x)    B( x, y)    C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al
StepHypRef Expression
1 df-ral 2679 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
2 r2al 2711 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
32ralbii 2698 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x  e.  A  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
4 3anass 940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) ) )
54imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  ph )
)
6 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  C
) )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  -> 
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
75, 6bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
87albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. z ( x  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
9 19.21v 1909 . . . . . 6  |-  ( A. z ( x  e.  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
108, 9bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1110albii 1572 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. y
( x  e.  A  ->  A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph ) ) )
12 19.21v 1909 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  A. z
( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1311, 12bitri 241 . . 3  |-  ( A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
1413albii 1572 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y A. z ( ( y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
) )
151, 3, 143bitr4i 269 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    e. wcel 1721   A.wral 2674
This theorem is referenced by:  pocl  4478  dfwe2  4729  isass  21865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ral 2679
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