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Theorem raaan 3678
Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
raaan.1  |-  F/ y
ph
raaan.2  |-  F/ x ps
Assertion
Ref Expression
raaan  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y)

Proof of Theorem raaan
StepHypRef Expression
1 rzal 3672 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )
2 rzal 3672 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  ph )
3 rzal 3672 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  ps )
4 pm5.1 831 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  /\  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph 
/\  A. y  e.  A  ps ) ) )
51, 2, 3, 4syl12anc 1182 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
6 raaan.1 . . . . 5  |-  F/ y
ph
76r19.28z 3663 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
87ralbidv 2669 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  A. x  e.  A  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
9 nfcv 2523 . . . . 5  |-  F/_ x A
10 raaan.2 . . . . 5  |-  F/ x ps
119, 10nfral 2702 . . . 4  |-  F/ x A. y  e.  A  ps
1211r19.27z 3669 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  /\  A. y  e.  A  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
138, 12bitrd 245 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
145, 13pm2.61ine 2626 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   F/wnf 1550    = wceq 1649    =/= wne 2550   A.wral 2649   (/)c0 3571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-v 2901  df-dif 3266  df-nul 3572
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