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Theorem raaan 3561
Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
raaan.1  |-  F/ y
ph
raaan.2  |-  F/ x ps
Assertion
Ref Expression
raaan  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y)

Proof of Theorem raaan
StepHypRef Expression
1 rzal 3555 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )
2 rzal 3555 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  ph )
3 rzal 3555 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  ps )
4 pm5.1 830 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  /\  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph 
/\  A. y  e.  A  ps ) ) )
51, 2, 3, 4syl12anc 1180 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
6 raaan.1 . . . . 5  |-  F/ y
ph
76r19.28z 3546 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
87ralbidv 2563 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  A. x  e.  A  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
9 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ x A
10 raaan.2 . . . . 5  |-  F/ x ps
119, 10nfral 2596 . . . 4  |-  F/ x A. y  e.  A  ps
1211r19.27z 3552 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  /\  A. y  e.  A  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
138, 12bitrd 244 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
145, 13pm2.61ine 2522 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1531    = wceq 1623    =/= wne 2446   A.wral 2543   (/)c0 3455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-v 2790  df-dif 3155  df-nul 3456
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