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Theorem raaan 3727
Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 26-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
raaan.1  |-  F/ y
ph
raaan.2  |-  F/ x ps
Assertion
Ref Expression
raaan  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y)

Proof of Theorem raaan
StepHypRef Expression
1 rzal 3721 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )
2 rzal 3721 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  ph )
3 rzal 3721 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  ps )
4 pm5.1 831 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  /\  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph 
/\  A. y  e.  A  ps ) ) )
51, 2, 3, 4syl12anc 1182 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
6 raaan.1 . . . . 5  |-  F/ y
ph
76r19.28z 3712 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
87ralbidv 2717 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  A. x  e.  A  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
9 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ x A
10 raaan.2 . . . . 5  |-  F/ x ps
119, 10nfral 2751 . . . 4  |-  F/ x A. y  e.  A  ps
1211r19.27z 3718 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  /\  A. y  e.  A  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
138, 12bitrd 245 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
145, 13pm2.61ine 2674 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   F/wnf 1553    = wceq 1652    =/= wne 2598   A.wral 2697   (/)c0 3620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-v 2950  df-dif 3315  df-nul 3621
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