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Theorem raaanv 3736
Description: Rearrange restricted quantifiers. (Contributed by NM, 11-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
raaanv  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem raaanv
StepHypRef Expression
1 rzal 3729 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\ 
ps ) )
2 rzal 3729 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  ph )
3 rzal 3729 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  ps )
4 pm5.1 831 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  /\  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph 
/\  A. y  e.  A  ps ) ) )
51, 2, 3, 4syl12anc 1182 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
6 r19.28zv 3723 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
76ralbidv 2725 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  A. x  e.  A  ( ph  /\ 
A. y  e.  A  ps ) ) )
8 r19.27zv 3727 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  ( ph  /\  A. y  e.  A  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
97, 8bitrd 245 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) ) )
105, 9pm2.61ine 2680 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ph  /\  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. y  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    =/= wne 2599   A.wral 2705   (/)c0 3628
This theorem is referenced by:  reusv3i  4730  f1mpt  6007  isclo2  17152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-v 2958  df-dif 3323  df-nul 3629
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