Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabdiophlem1 Unicode version

Theorem rabdiophlem1 26882
Description: Lemma for arithmetic diophantine sets. Convert polynomial-ness of an expression into a constraint suitable for ralimi 2618. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rabdiophlem1  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
Distinct variable group:    t, N
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem rabdiophlem1
StepHypRef Expression
1 zex 10033 . . 3  |-  ZZ  e.  _V
2 nn0ssz 10044 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
3 mapss 6810 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  NN0  C_  ZZ )  ->  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  C_  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) )
5 mzpf 26814 . . 3  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A ) : ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  |->  A )  =  ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A )
76fmpt 5681 . . 3  |-  ( A. t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) ) A  e.  ZZ  <->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) 
|->  A ) : ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) --> ZZ )
85, 7sylibr 203 . 2  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
9 ssralv 3237 . 2  |-  ( ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) 
C_  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( A. t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ ) )
104, 8, 9mpsyl 59 1  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782  mzPolycmzp 26800
This theorem is referenced by:  lerabdioph  26886  eluzrabdioph  26887  ltrabdioph  26889  nerabdioph  26890  dvdsrabdioph  26891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-mzpcl 26801  df-mzp 26802
  Copyright terms: Public domain W3C validator