MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabeq0 Unicode version

Theorem rabeq0 3489
Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
rabeq0  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ph )

Proof of Theorem rabeq0
StepHypRef Expression
1 ralnex 2566 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  ph  <->  -. 
E. x  e.  A  ph )
2 rabn0 3487 . . 3  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  ph )
32necon1bbii 2511 . 2  |-  ( -. 
E. x  e.  A  ph  <->  { x  e.  A  |  ph }  =  (/) )
41, 3bitr2i 241 1  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    = wceq 1632   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   (/)c0 3468
This theorem is referenced by:  rabnc  3491  dffr2  4374  frc  4375  frirr  4386  wereu2  4406  fndmdifeq0  5647  cantnf  7411  wemapwe  7416  hashbclem  11406  hashbc  11407  smuval2  12689  smupvallem  12690  smu01lem  12692  smumullem  12699  phiprmpw  12860  prmreclem4  12982  efgsfo  15064  00lsp  15754  ordthauslem  17127  pthaus  17348  xkohaus  17363  hmeofval  17465  mumul  20435  musum  20447  ppiub  20459  lgsquadlem2  20610  hasheuni  23468  measvuni  23557  subfacp1lem6  23731  vdgr1b  23910  vdgr1a  23912  eupath2  23919  tz6.26  24276  itg2addnclem2  25004  areacirclem6  25033  bsstrs  26249  nbssntrs  26250  rabeq0OLD  26454  fnnfpeq0  26861  0dioph  26961  dsmm0cl  27309  hashgcdeq  27620  usgra1v  28260  nbusgra  28277  nbgra0nb  28278  nbgra0edg  28281  uvtx0  28304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-nul 3469
  Copyright terms: Public domain W3C validator