MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvcl Unicode version

Theorem radcnvcl 19809
Description: The radius of convergence  R of an infinite series is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
radcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
radcnvcl  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)

Proof of Theorem radcnvcl
StepHypRef Expression
1 radcnv.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
2 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR
3 ressxr 8892 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
42, 3sstri 3201 . . . 4  |-  { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR*
5 supxrcl 10649 . . . 4  |-  ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR*  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
64, 5mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
71, 6syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
8 pser.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
9 radcnv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
108, 9radcnv0 19808 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } )
11 supxrub 10659 . . . 4  |-  ( ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  }  C_  RR*  /\  0  e.  { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } )  ->  0  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
)
124, 10, 11sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
1312, 1syl6breqr 4079 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
14 pnfge 10485 . . 3  |-  ( R  e.  RR*  ->  R  <_  +oo )
157, 14syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_  +oo )
16 0xr 8894 . . 3  |-  0  e.  RR*
17 pnfxr 10471 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
18 elicc1 10716 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( R  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R  /\  R  <_  +oo )
) )
1916, 17, 18mp2an 653 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R  /\  R  <_  +oo )
)
207, 13, 15, 19syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   [,]cicc 10675    seq cseq 11062   ^cexp 11120    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  radcnvlt1  19810  radcnvle  19812  pserulm  19814  psercnlem2  19816  psercnlem1  19817  psercn  19818  pserdvlem1  19819  pserdvlem2  19820  abelthlem3  19825  abelth  19833  logtayl  20023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-icc 10679  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978
  Copyright terms: Public domain W3C validator