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Theorem radcnvlem1 19805
Description: Lemma for radcnvlt1 19810, radcnvle 19812. If  X is a point closer to zero than  Y and the power series converges at 
Y, then it converges absolutely at 
X, even if the terms in the sequence are multiplied by  n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
psergf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
radcnvlem2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
radcnvlem2.a  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
radcnvlem2.c  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
radcnvlem1.h  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    m, n, x, A    m, H    ph, m    m, X    m, G    m, Y
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    G( x, n)    H( x, n)    X( x, n)    Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1
Dummy variables  i 
k  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10278 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10051 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 1rp 10374 . . . 4  |-  1  e.  RR+
54a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6 radcnvlem2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
7 pser.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
87pserval2 19803 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  Y ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )
96, 8sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )
10 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( G `
 Y )  e. 
_V
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  e.  _V )
12 radcnvlem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
13 radcnv.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
147, 13, 6psergf 19804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
) : NN0 --> CC )
15 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  Y
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  Y ) `  k
)  e.  CC )
1614, 15sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  e.  CC )
171, 3, 11, 12, 16serf0 12169 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  ~~>  0 )
181, 3, 5, 9, 17climi0 12002 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
19 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
20 nn0re 9990 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
2120adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  i  e.  RR )
22 psergf.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  X  e.  CC )
2423abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
256adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  Y  e.  CC )
2625abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
27 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
2827a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2922abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
306abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
3122absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
32 radcnvlem2.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
3328, 29, 30, 31, 32lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
3433gt0ne0d 9353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  =/=  0 )
3534adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
3624, 26, 35redivcld 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
37 reexpcl 11136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3836, 37sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3921, 38remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  e.  RR )
40 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) )
4139, 40fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
42 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) : NN0 --> RR  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) `  m )  e.  RR )
4341, 42sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) `
 m )  e.  RR )
44 nn0re 9990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
4544adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
467, 13, 22psergf 19804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  X
) : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  m
)  e.  CC )
4846, 47sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
4948abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
5045, 49remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
51 radcnvlem1.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
5250, 51fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> RR )
5352adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  H : NN0
--> RR )
54 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( H : NN0 --> RR  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( H `  m
)  e.  RR )
5553, 54sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
5655recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
5729, 30, 34redivcld 9604 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR )
5857recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC )
59 divge0 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
) )  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
6029, 31, 30, 33, 59syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
6157, 60absidd 11921 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) )
6230recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  CC )
6362mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  x.  1 )  =  ( abs `  Y
) )
6432, 63breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( ( abs `  Y )  x.  1 ) )
65 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
6665a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
67 ltdivmul 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6829, 66, 30, 33, 67syl112anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6964, 68mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  <  1 )
7061, 69eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )
7140geomulcvg 12348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )  ->  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7258, 70, 71syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7372adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7465a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  1  e.  RR )
7546ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  X ) : NN0 --> CC )
76 eluznn0 10304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN0 )
7719, 76sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  NN0 )
7875, 77, 47syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
7978abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
8036adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
8180, 77reexpcld 11278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  e.  RR )
8277nn0red 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  RR )
8377nn0ge0d 10037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  m )
8413ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A : NN0
--> CC )
85 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( A `  m
)  e.  CC )
8684, 77, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A `  m )  e.  CC )
876ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  Y  e.  CC )
8887, 77expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( Y ^ m )  e.  CC )
8986, 88mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m
) )  e.  CC )
9089abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR )
9165a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
9222ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  X  e.  CC )
9392abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
9493, 77reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  RR )
9592absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
9693, 77, 95expge0d 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
97 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
98 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( A `  k )  =  ( A `  m ) )
99 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  ( Y ^ k )  =  ( Y ^ m
) )
10098, 99oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) )  =  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )
101100fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( Y ^ k
) ) )  =  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
102101breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1 ) )
103102rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )  <  1  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
10497, 103sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
105 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
10690, 65, 105sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
107104, 106mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 )
10890, 91, 94, 96, 107lemul1ad 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
10992, 77expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
11086, 109mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m
) )  e.  CC )
111110, 88absmuld 11952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) ) )
11289, 109absmuld 11952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) ) )
11386, 88, 109mul32d 9038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) )  x.  ( X ^
m ) )  =  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )
114113fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
11592, 77absexpd 11950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( X ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
116115oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
117112, 114, 1163eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
11887, 77absexpd 11950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( Y ^ m
) )  =  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
119118oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
120111, 117, 1193eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
12194recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  CC )
122121mulid2d 8869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
123108, 120, 1223brtr3d 4068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^
m ) )
124110abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR )
12526adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
126125, 77reexpcld 11278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  Y ) ^
m )  e.  RR )
127 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  ZZ )
12933ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
130 expgt0 11151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  Y
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  Y
) )  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
131125, 128, 129, 130syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
132 lemuldiv 9651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  X
) ^ m )  e.  RR  /\  (
( ( abs `  Y
) ^ m )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
133124, 94, 126, 131, 132syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
134123, 133mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
1357pserval2 19803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  m
)  =  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )
13692, 77, 135syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  =  ( ( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )
137136fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  =  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) ) )
13824recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
139138adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
14026recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
141140adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
14234ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
143139, 141, 142, 77expdivd 11275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  =  ( ( ( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
144134, 137, 1433brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  <_  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
14579, 81, 82, 83, 144lemul2ad 9713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  <_  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
14682, 79remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
14778absge0d 11942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( G `  X ) `
 m ) ) )
14882, 79, 83, 147mulge0d 9365 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
149146, 148absidd 11921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
15082, 81remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  RR )
151150recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  CC )
152151mulid2d 8869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) ) )
153145, 149, 1523brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) ) )
154 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  _V
15551fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) )  e.  _V )  -> 
( H `  m
)  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
15677, 154, 155sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( H `  m )  =  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
157156fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  =  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) ) )
158 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
159 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  =  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
160158, 159oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  m  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  =  ( m  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
161 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) )  e.  _V
162160, 40, 161fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
16377, 162syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
164163oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) )  =  ( 1  x.  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) ) )
165153, 157, 1643brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  <_  (
1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) ) )
1661, 19, 43, 56, 73, 74, 165cvgcmpce 12292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  H
)  e.  dom  ~~>  )
167166expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e.  dom  ~~>  ) )
168167rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. j  e. 
NN0  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )  <  1  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e.  dom  ~~>  ) )
16918, 168mpd 14 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974
This theorem is referenced by:  radcnvlem2  19806  radcnvlt1  19810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
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