Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem1 Structured version   Unicode version

 Description: Lemma for radcnvlt1 20336, radcnvle 20338. If is a point closer to zero than and the power series converges at , then it converges absolutely at , even if the terms in the sequence are multiplied by . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g
psergf.x
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10522 . . 3
2 0z 10295 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 1rp 10618 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 radcnvlem2.y . . . 4
7 pser.g . . . . 5
87pserval2 20329 . . . 4
96, 8sylan 459 . . 3
10 fvex 5744 . . . . 5
1110a1i 11 . . . 4
12 radcnvlem2.c . . . 4
13 radcnv.a . . . . . 6
147, 13, 6psergf 20330 . . . . 5
1514ffvelrnda 5872 . . . 4
161, 3, 11, 12, 15serf0 12476 . . 3
171, 3, 5, 9, 16climi0 12308 . 2
18 simprl 734 . . 3
19 nn0re 10232 . . . . . . 7
2019adantl 454 . . . . . 6
21 psergf.x . . . . . . . . . 10
2221adantr 453 . . . . . . . . 9
2322abscld 12240 . . . . . . . 8
246adantr 453 . . . . . . . . 9
2524abscld 12240 . . . . . . . 8
26 0re 9093 . . . . . . . . . . . 12
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2821abscld 12240 . . . . . . . . . . 11
296abscld 12240 . . . . . . . . . . 11
3021absge0d 12248 . . . . . . . . . . 11
31 radcnvlem2.a . . . . . . . . . . 11
3227, 28, 29, 30, 31lelttrd 9230 . . . . . . . . . 10
3332gt0ne0d 9593 . . . . . . . . 9
3433adantr 453 . . . . . . . 8
3523, 25, 34redivcld 9844 . . . . . . 7
36 reexpcl 11400 . . . . . . 7
3735, 36sylan 459 . . . . . 6
3820, 37remulcld 9118 . . . . 5
39 eqid 2438 . . . . 5
4038, 39fmptd 5895 . . . 4
4140ffvelrnda 5872 . . 3
42 nn0re 10232 . . . . . . . . 9
4342adantl 454 . . . . . . . 8
447, 13, 21psergf 20330 . . . . . . . . . 10
4544ffvelrnda 5872 . . . . . . . . 9
4645abscld 12240 . . . . . . . 8
4743, 46remulcld 9118 . . . . . . 7
48 radcnvlem1.h . . . . . . 7
4947, 48fmptd 5895 . . . . . 6
5049adantr 453 . . . . 5
5150ffvelrnda 5872 . . . 4
5251recnd 9116 . . 3
5328, 29, 33redivcld 9844 . . . . . 6
5453recnd 9116 . . . . 5
55 divge0 9881 . . . . . . . 8
5628, 30, 29, 32, 55syl22anc 1186 . . . . . . 7
5753, 56absidd 12227 . . . . . 6
5829recnd 9116 . . . . . . . . 9
5958mulid1d 9107 . . . . . . . 8
6031, 59breqtrrd 4240 . . . . . . 7
61 1re 9092 . . . . . . . . 9
6261a1i 11 . . . . . . . 8
63 ltdivmul 9884 . . . . . . . 8
6428, 62, 29, 32, 63syl112anc 1189 . . . . . . 7
6560, 64mpbird 225 . . . . . 6
6657, 65eqbrtrd 4234 . . . . 5
6739geomulcvg 12655 . . . . 5
6854, 66, 67syl2anc 644 . . . 4
7061a1i 11 . . 3
7144ad2antrr 708 . . . . . . . 8
72 eluznn0 10548 . . . . . . . . 9
7318, 72sylan 459 . . . . . . . 8
7471, 73ffvelrnd 5873 . . . . . . 7
7574abscld 12240 . . . . . 6
7635adantr 453 . . . . . . 7
7776, 73reexpcld 11542 . . . . . 6
7873nn0red 10277 . . . . . 6
7973nn0ge0d 10279 . . . . . 6
8013ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
8180, 73ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12
826ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
8382, 73expcld 11525 . . . . . . . . . . . 12
8481, 83mulcld 9110 . . . . . . . . . . 11
8584abscld 12240 . . . . . . . . . 10
8661a1i 11 . . . . . . . . . 10
8721ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
8887abscld 12240 . . . . . . . . . . 11
8988, 73reexpcld 11542 . . . . . . . . . 10
9087absge0d 12248 . . . . . . . . . . 11
9188, 73, 90expge0d 11543 . . . . . . . . . 10
92 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12
93 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9593, 94oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14
9796breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . 13
9897rspccva 3053 . . . . . . . . . . . 12
9992, 98sylan 459 . . . . . . . . . . 11
100 ltle 9165 . . . . . . . . . . . 12
10185, 61, 100sylancl 645 . . . . . . . . . . 11
10299, 101mpd 15 . . . . . . . . . 10
10385, 86, 89, 91, 102lemul1ad 9952 . . . . . . . . 9
10487, 73expcld 11525 . . . . . . . . . . . 12
10581, 104mulcld 9110 . . . . . . . . . . 11
106105, 83absmuld 12258 . . . . . . . . . 10
10784, 104absmuld 12258 . . . . . . . . . . 11
10881, 83, 104mul32d 9278 . . . . . . . . . . . 12
109108fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
11087, 73absexpd 12256 . . . . . . . . . . . 12
111110oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
112107, 109, 1113eqtr3d 2478 . . . . . . . . . 10
11382, 73absexpd 12256 . . . . . . . . . . 11
114113oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10
115106, 112, 1143eqtr3d 2478 . . . . . . . . 9
11689recnd 9116 . . . . . . . . . 10
117116mulid2d 9108 . . . . . . . . 9
118103, 115, 1173brtr3d 4243 . . . . . . . 8
119105abscld 12240 . . . . . . . . 9
12025adantr 453 . . . . . . . . . 10
121120, 73reexpcld 11542 . . . . . . . . 9
122 eluzelz 10498 . . . . . . . . . . 11
123122adantl 454 . . . . . . . . . 10
12432ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
125 expgt0 11415 . . . . . . . . . 10
126120, 123, 124, 125syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
127 lemuldiv 9891 . . . . . . . . 9
128119, 89, 121, 126, 127syl112anc 1189 . . . . . . . 8
129118, 128mpbid 203 . . . . . . 7
1307pserval2 20329 . . . . . . . . 9
13187, 73, 130syl2anc 644 . . . . . . . 8
132131fveq2d 5734 . . . . . . 7
13323recnd 9116 . . . . . . . . 9
134133adantr 453 . . . . . . . 8
13525recnd 9116 . . . . . . . . 9
136135adantr 453 . . . . . . . 8
13733ad2antrr 708 . . . . . . . 8
138134, 136, 137, 73expdivd 11539 . . . . . . 7
139129, 132, 1383brtr4d 4244 . . . . . 6
14075, 77, 78, 79, 139lemul2ad 9953 . . . . 5
14178, 75remulcld 9118 . . . . . 6
14274absge0d 12248 . . . . . . 7
14378, 75, 79, 142mulge0d 9605 . . . . . 6
144141, 143absidd 12227 . . . . 5
14578, 77remulcld 9118 . . . . . . 7
146145recnd 9116 . . . . . 6
147146mulid2d 9108 . . . . 5
148140, 144, 1473brtr4d 4244 . . . 4
149 ovex 6108 . . . . . 6
15048fvmpt2 5814 . . . . . 6
15173, 149, 150sylancl 645 . . . . 5
152151fveq2d 5734 . . . 4
153 id 21 . . . . . . . 8
154 oveq2 6091 . . . . . . . 8
155153, 154oveq12d 6101 . . . . . . 7
156 ovex 6108 . . . . . . 7
157155, 39, 156fvmpt 5808 . . . . . 6
15873, 157syl 16 . . . . 5
159158oveq2d 6099 . . . 4
160148, 152, 1593brtr4d 4244 . . 3
1611, 18, 41, 52, 69, 70, 160cvgcmpce 12599 . 2
16217, 161rexlimddv 2836 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cdm 4880  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cdiv 9679  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  crp 10614   cseq 11325  cexp 11384  cabs 12041   cli 12280 This theorem is referenced by:  radcnvlem2  20332  radcnvlt1  20336 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
 Copyright terms: Public domain W3C validator