Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem2 Unicode version

 Description: Lemma for radcnvlt1 19847, radcnvle 19849. If is a point closer to zero than and the power series converges at , then it converges absolutely at . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g
psergf.x
Assertion
Ref Expression
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10309 . 2
2 1nn0 10028 . . 3
32a1i 10 . 2
4 id 19 . . . . . 6
5 fveq2 5563 . . . . . . 7
65fveq2d 5567 . . . . . 6
74, 6oveq12d 5918 . . . . 5
8 eqid 2316 . . . . 5
9 ovex 5925 . . . . 5
107, 8, 9fvmpt 5640 . . . 4
12 nn0re 10021 . . . . 5
1312adantl 452 . . . 4
14 pser.g . . . . . . 7
15 radcnv.a . . . . . . 7
16 psergf.x . . . . . . 7
1714, 15, 16psergf 19841 . . . . . 6
18 ffvelrn 5701 . . . . . 6
1917, 18sylan 457 . . . . 5
2019abscld 11965 . . . 4
2113, 20remulcld 8908 . . 3
2211, 21eqeltrd 2390 . 2
23 fvco3 5634 . . . 4
2417, 23sylan 457 . . 3
2520recnd 8906 . . 3
2624, 25eqeltrd 2390 . 2
307cbvmptv 4148 . . 3
3114, 15, 16, 27, 28, 29, 30radcnvlem1 19842 . 2
32 1re 8882 . . 3
3332a1i 10 . 2
3432a1i 10 . . . 4
35 elnnuz 10311 . . . . . 6
36 nnnn0 10019 . . . . . 6
3735, 36sylbir 204 . . . . 5
3837, 13sylan2 460 . . . 4
3937, 20sylan2 460 . . . 4
4019absge0d 11973 . . . . 5
4137, 40sylan2 460 . . . 4
42 eluzle 10287 . . . . 5
4342adantl 452 . . . 4
4434, 38, 39, 41, 43lemul1ad 9741 . . 3
45 absidm 11854 . . . . . 6
4619, 45syl 15 . . . . 5
4724fveq2d 5567 . . . . 5
4825mulid2d 8898 . . . . 5
4946, 47, 483eqtr4d 2358 . . . 4
5037, 49sylan2 460 . . 3
5111oveq2d 5916 . . . . 5
5221recnd 8906 . . . . . 6
5352mulid2d 8898 . . . . 5
5451, 53eqtrd 2348 . . . 4
5537, 54sylan2 460 . . 3
5644, 50, 553brtr4d 4090 . 2
571, 3, 22, 26, 31, 33, 56cvgcmpce 12323 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1633   wcel 1701   class class class wbr 4060   cmpt 4114   cdm 4726   ccom 4730  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900  cc 8780  cr 8781  cc0 8782  c1 8783   caddc 8785   cmul 8787   clt 8912   cle 8913  cn 9791  cn0 10012  cuz 10277   cseq 11093  cexp 11151  cabs 11766   cli 12005 This theorem is referenced by:  radcnvlem3  19844  radcnvlt1  19847 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-ico 10709  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206
 Copyright terms: Public domain W3C validator