Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt1 Structured version   Unicode version

 Description: If is within the open disk of radius centered at zero, then the infinite series converges absolutely at , and also converges when the series is multiplied by . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,,)

Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnvlt.a . . . . 5
2 ressxr 9131 . . . . . . 7
3 radcnvlt.x . . . . . . . 8
43abscld 12240 . . . . . . 7
52, 4sseldi 3348 . . . . . 6
6 iccssxr 10995 . . . . . . 7
7 pser.g . . . . . . . 8
8 radcnv.a . . . . . . . 8
9 radcnv.r . . . . . . . 8
107, 8, 9radcnvcl 20335 . . . . . . 7
116, 10sseldi 3348 . . . . . 6
12 xrltnle 9146 . . . . . 6
135, 11, 12syl2anc 644 . . . . 5
141, 13mpbid 203 . . . 4
159breq1i 4221 . . . . . 6
16 ssrab2 3430 . . . . . . . 8
1716, 2sstri 3359 . . . . . . 7
18 supxrleub 10907 . . . . . . 7
1917, 5, 18sylancr 646 . . . . . 6
2015, 19syl5bb 250 . . . . 5
21 fveq2 5730 . . . . . . . 8
2221seqeq3d 11333 . . . . . . 7
2322eleq1d 2504 . . . . . 6
2423ralrab 3098 . . . . 5
2520, 24syl6bb 254 . . . 4
2614, 25mtbid 293 . . 3
27 rexanali 2753 . . 3
2826, 27sylibr 205 . 2
29 ltnle 9157 . . . . . . 7
304, 29sylan 459 . . . . . 6
3130adantr 453 . . . . 5
328ad2antrr 708 . . . . . . . 8
333ad2antrr 708 . . . . . . . 8
34 simplr 733 . . . . . . . . 9
3534recnd 9116 . . . . . . . 8
36 simprr 735 . . . . . . . . 9
37 0re 9093 . . . . . . . . . . . 12
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3933abscld 12240 . . . . . . . . . . . 12
4033absge0d 12248 . . . . . . . . . . . 12
4138, 39, 34, 40, 36lelttrd 9230 . . . . . . . . . . 11
4238, 34, 41ltled 9223 . . . . . . . . . 10
4334, 42absidd 12227 . . . . . . . . 9
4436, 43breqtrrd 4240 . . . . . . . 8
45 simprl 734 . . . . . . . 8
46 radcnvlt1.h . . . . . . . 8
477, 32, 33, 35, 44, 45, 46radcnvlem1 20331 . . . . . . 7
487, 32, 33, 35, 44, 45radcnvlem2 20332 . . . . . . 7
4947, 48jca 520 . . . . . 6
5049expr 600 . . . . 5
5131, 50sylbird 228 . . . 4
5251expimpd 588 . . 3
5352rexlimdva 2832 . 2
5428, 53mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  crab 2711   wss 3322   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cdm 4880   ccom 4884  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  csup 7447  cc 8990  cr 8991  cc0 8992   caddc 8995   cmul 8997   cpnf 9119  cxr 9121   clt 9122   cle 9123  cn0 10223  cicc 10921   cseq 11325  cexp 11384  cabs 12041   cli 12280 This theorem is referenced by:  radcnvlt2  20337  dvradcnv  20339  pserulm  20340 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
 Copyright terms: Public domain W3C validator